Antes de nada, un pequeño aviso: como sabéis algunos, nos acabamos de mudar, y tengo aún menos tiempo del habitual. Por tanto, es casi seguro que diciembre tenga un artículo menos de lo normal y, por tanto, haya pausas más largas entre unos y otros. Veremos qué pasa, pero avisados estáis por si las moscas.

Como suele suceder, he disfrutado como un niño viendo cómo disfrutábais vosotros peleándoos con el desafío que planteamos hace una semana. Más de una docena de vosotros respondisteis correctamente al primer par de preguntas y recibisteis la tercera: ¡enhorabuena!

De entre quienes llegasteis a la solución de las primeras dos preguntas, ha habido distintas versiones, ya que el problema puede “atacarse” de distintas formas. De lo que, en general, no os cabía ninguna duda, era de dos tácticas clarísimas:

• Xylabarr siempre dispararía, si está viva, a la mejor tiradora de las otras dos, para poder maximizar sus probabilidades de supervivencia, es decir, a Yiggurath, y no fallará nunca en ese disparo, con lo que…

• Yiggurath, que es consciente de ello, debe librarse de Xylabarr si puede, pues de otra manera está perdida. De modo que Yiggurath disparará a Xylabarr, y si ella muere, a Zandrakhor, por supuesto.

La difícil era la tercera, desde luego. ¿Qué debe hacer entonces Zandrakhor? Para saberlo hacía falta ver qué distintas secuencias de disparo posibles había, y determinar probabilidades, algunas de las cuales eran más sencillas que otras. La respuesta, naturalmente, era que Zandrakhor debe fallar a propósito mientras las otras dos estén vivas, y luego a la superviviente entre ambas.

La principal diferencia entre vuestras soluciones ha sido en cómo habéis determinado las más difíciles de todas: las de los duelos singulares entre Zandrakhor y Yiggurath, en los dos posibles órdenes de disparo (ZY e YZ). La solución más común a este problema la habéis obtenido como una serie infinita –ya que es posible que falle una, y la otra, y la una, y la otra, etc.–. Un ejemplo muy bueno de este tipo de soluciones es la de David: david-1.pdf.

Lo que más nos ha sorprendido a casi todos –al menos a mí cuando lo resolví, y por vuestras soluciones, a muchos de vosotros– es el hecho de que quien más probabilidades de sobrevivir tiene no es otra que Zandrakhor, la peor tiradora de las tres. Karlos resume la sorpresa con su prosa inmortal:

Por extraño que parezca, quien más probabilidades tiene de ganar el trielo es quien menos probabilidades tiene de ganar un duelo por separado con cada una de las rivales. Fesxom, el Darwin ragnerdita, al publicar su celebrada obra “el final de las especies”, hizo notar que este hecho, repetido generación tras generación, haría que cada vez fueran más escasas las hembras ragnerditas con una buena puntería, lo que a la larga haría extinguirse la especie por imposibilidad de cazar… obviamente, fue devorado poco después por la hembra que se había apareado con él.

Mi respuesta favorita al primer par de preguntas, en cualquier caso, es la de Enrique. La cuestión está en que hay una forma muy elegante de resolver el problema de la suma infinita, ya que la incógnita está dentro de la suma, con lo que puede aprovecharse esa recursión y resolver sin resolver explícitamente sumas infinitas. Enrique lo explica con mucho rigor en su solución a esta primera parte: enrique-1.pdf.

Si no lograste responder correctamente a las primeras preguntas –o no nos enviaste la solución para recibir la siguiente–, te recomiendo que te quede bien clara la primera, el modo de resolverla y las cifras obtenidas, ya sea con la solución de David o la de Enrique, antes de intentar solventar la segunda parte, ¡porque si no lo has intentado aún, ni se te ocurra leer la solución antes de disfrutar del problema!

La pregunta que recibieron los que resolvieron correctamente la segunda parte fue la siguiente: está claro que, con las probabilidades dadas, Zandrakhor debe tirar al suelo y fallar a propósito. Pero, manteniendo la probabilidad de Xylabarr al 100% y la condición de que Yiggurath es mejor tiradora que Zandrakhor, ¿existe algún límite en la precisión de Yiggurath por encima o por debajo del cual Zandrakhor ya no debería tirar al suelo? Puede ser un valor fijo, una relación entre las precisiones de Yiggurath o Zandrakhor, lo que sea.

Insisto: si no te has peleado aún con esto, mejor no sigas leyendo. Dejo un espacio antes de seguir discutiendo el asunto.

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La pregunta se las traía, desde luego. Sólo unos pocos valientes habéis contestado profundizando lo suficiente en el asunto, lo cual no me extraña (enhorabuena por esto a Cristóbal, David, Draz, argus, Cataclysm y Enrique). Espero que, al menos, a los demás os haya pasado como a mí: que no habéis llegado al fondo de la cuestión pero os habéis divertido como bellacos haciendo cálculos y cosas.

Había tres resultados importantes a los que era posible llegar en la tercera pregunta:

• En primer lugar, Zandrakhor nunca debe disparar a Yiggurath: o bien tira al suelo o mata a Xylabarr. Éste era el más fácil de los tres datos importantes, y casi todos los que habéis respondido lo habéis obtenido.

• En segundo lugar, alcanzar una relación entre Z e Y (la precisión de tiro de Zandrakhor y la de Yiggurath, respectivamente) para la que Zandrakhor debe tirar al suelo o a matar a Xylabarr. Esto era más complejo, y puede hacerse de varias maneras, de las que hablaremos en un momento.

• En tercer lugar, obtener los límites últimos en la precisión de Yiggurath y/o Zandrakhor más allá de los cuales Zandrakhor debe cambiar de estrategia. Esto era lo más complicado de todo, y uno de los límites sólo lo ha obtenido uno de vosotros –tal vez dos, pero la explicación de uno ha sido insuficiente para convencerme de que sabía lo que hacía–.

Vamos por partes.

En primer lugar, es evidente que Zandrakhor, si dispara a alguien, no debe escupir nunca a Yiggurath mientras Xylabarr esté viva, porque de acabar con Yiggurath, a continuación Xylabarr se encontrará a solas con Zandrakhor y acabará con ella. De modo que, de escupir a alguien cuando las tres contendientes están vivas, Zandrakhor debe ir a por Xylabarr… pero sólo a veces (en el caso de X = 100, Y = 80, Z = 50, por ejemplo, no debe escupir a nadie).

Lo segundo es más difícil, ya que la cosa depende, y se llega a algunas inecuaciones complicadas. Según lo habilidoso que haya sido cada uno, habrán sido de mayor o menor grado de dificultad. Tanto David como Cristóbal (david-2.pdf y cristobal.pdf) han llegado a una solución gráfica muy elegante, en la que marcan en verde la “región” de probabilidades en la que Zandrakhor debe escupir a Xylabarr. Pantallazo de Cristóbal:

Como puede verse ahí, hay ciertos límites “duros” que deben cumplirse, aparte de la relación Y-Z. Uno es muy claro en cualquier solución gráfica: si Yiggurath tiene más de un 50% de precisión, Zandrakhor debe escupir al suelo sin dudarlo. Pero, como se ve en el pantallazo de arriba, existe también un límite de precisión de Zandrakhor: si su precisión supera el valor de corte entre la línea negra y la azul, nunca deberá escupir a Xylabarr. Pero claro, ese límite no corta ningún eje y no es tan fácil de calcular. Se trata, como ha logrado demostrar uno de vosotros, del 38,20%.

Tanto David como Cristóbal son finalistas del desafío por su elegante solución gráfica, pero Enrique ha obtenido explícitamente el mágico 38,20%, lo cual, combinado con su solución recursiva de la primera parte del desafío, muy original, lo convierte en el ganador del desafío del duelo de escupitajos. En su solución emplea la misma ecuación que Cristóbal, aunque no ha realizado gráficas; podéis disfrutar de su solución –y tal vez encontrar algún fallito que no afecta al mágico 38,20%– aquí: enrique-2.pdf.

Más allá de unos y otros resultados, es una alegría haberos proporcionado algunos minutos –u horas, según el caso– de diversión. Espero que leer las soluciones colgadas también os dé otro ratillo agradable. Enhorabuena a los finalistas y el ganador, y hasta el próximo desafío… ¡descansad las neuronas!