En el último artículo de la serie sobre los Alienígenas matemáticos vimos una manera “financiera” de obtener el valor del número e, a través del relato de la adquisición del Banco Estelar de Deneb por parte del malévolo Lurcobbinelajo, para quien el número e –como para cualquier Alienígena matemático que se precie– no suponía el menor misterio. Si no llevas mucho tiempo con nosotros, tal vez esta introducción te esté haciendo arquear la ceja: no, no se trata de una inocentada. Es simplemente la naturaleza absurda, inútil, surrealista y ridícula de esta estúpida serie; lo mejor que puedes hacer es no leer este artículo y, desde luego, que no se te ocurra leer la serie desde el principio.

Como vimos al hablar del absurdo plan de Lurcobbinelajo, el número e aparece en los lugares más insospechados. Hoy veremos, con dos historias distintas pero relacionadas, cómo este curioso número irracional y trascendente, 2.7182818284590452353602874…, no sólo aparece al hablar de crecimiento, interés compuesto y cosas parecidas, sino también en probabilidad y, una vez más, de manera sorprendente –al menos, para mí–. Empezaremos con un problema probabilístico bastante simple que intentaremos resolver juntos y, después, remataremos la faena con una historia corta en la que vuelve a aparecer el “número e probabilístico”, ya que su fundamento matemático es similar al primer problema con el que nos comeremos la cabeza.

La razón de que esta vez utilicemos dos planteamientos diferentes en el mismo artículo es doble: por un lado, no estaba seguro de cuál de los dos utilizar, y estos artículos me resultan muy fáciles y rápidos de escribir, con lo que de este modo espero que si uno de los dos razonamientos no te aclara las cosas, el otro lo consiga. Por otra parte, el primero es del tipo clásico en esta serie (crueles experimentos probabilísticos sobre la humanidad conquistada por los Alienígenas matemáticos), mientras que el segundo es del estilo que es más común últimamente en la serie (absurda historia de ciencia-ficción de pacotilla en la que las matemáticas desempeñan un papel importante), y quedarme sólo con una me daba mucha pena…

¿Probabilidad de sobrevivir?

Imagina, sufrido y paciente lector de El Tamiz, que la humanidad ha sido ya subyugada por los terribles Alienígenas matemáticos en su conquista de la Galaxia y que tú, naturalmente, has sido escogido para ser objeto de retorcidos experimentos matemáticos y psicológicos por parte de las terribles criaturas ((¿Cuál es la probabilidad de que un lector de artículos de probabilidad sea escogido para un experimento? Uno, por supuesto.)). Cuando despiertas, tras ser capturado y anestesiado, te encuentras en una celda brillante y aséptica. Al otro lado de la puerta, visible a través de las rejas, uno de los babosos Alienígenas matemáticos te observa con curiosidad y, seguramente, apetito.

“Buenos días, xuglurz ((Palabra sin traducción sencilla, ya que indica el ruido que hace el tercer estómago al digerir carne tierna. Habitualmente empleada para referirse a cualquier individuo de una especie considerada un bocado apetitoso.))”, gorgotea el monstruo. “Espero que hayas dormido bien y estés listo para el experimento de hoy.”

Entonces observas que en la puerta hay un pequeño receptáculo accesible desde fuera a través de un tubo, y la criatura se percata de la dirección de tu mirada.

“Sí, todo está ya preparado para el experimento, pero no temas, sub-criatura” te dice el Alienígena, agitando levemente los tentáculos con excitación. “A través del tubo no voy a introducir ningún veneno, parásito o sustancia corrosiva; el experimento de hoy no tiene que ver con eso”, pero varios de sus ojos vidriosos se iluminan de sádico placer y estás seguro de que, tarde o temprano, algún otro humano sufrirá esa suerte, pues la imaginación crudelísima de un Alienígena matemático sólo se satisface llevando a cabo sus macabras fantasías. “Dentro de un momento introduciré ahí una bola numerada que extraeré de esa urna de allí”, y con un tentáculo gelatinoso del que gotea un líquido pútrido, el monstruo apunta a un cajón metálico fuera de la celda.

A través de las rejas puedes ver que el cajón metálico está en el centro de una gran sala, y que un gran número de celdas idénticas a la tuya dan a la misma estancia. Parece que todas están vacías excepto la tuya y otra, en la que otro humano con expresión desesperanzada te mira. Sobre su celda hay un número pintado: el número 2. Entonces te das cuenta de que en el receptáculo de la puerta de tu celda hay también un número pintado: el 1.

“Sí, en el cajón hay dos bolas, una pintada con un 1 y otra con un 2”, continúa el ser con voz sibilante. “Cogeré ambas bolas y, al azar, introduciré una en el receptáculo de tu celda –la celda 1– y otra en la del otro xuglurz –la celda 2–“. A continuación, el cuerpo del Alienígena se estremece, trémolo, con una risita ronroneante. “Si la bola de tu celda se corresponde con tu número de celda, mucho me temo que participarás en la cena de hoy… pero, claro, no como invitado”, y al decir esto observas con horror como babas rezumantes cubren la boca del repulsivo ser, que te observa con docenas de ojos hambrientos.

“Eso sí, si la bola de tu celda no se corresponde con tu número de celda, seguirás vivo. Ah, y se me olvidaba un pequeño detalle”, sigue el monstruo, a quien sabes que no se le ha olvidado nada, sino que simplemente juega contigo como un gato con un ratón. “Realizaré dos rondas de este juego, porque una sola sería muy aburrido. ¿Y bien? ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivas hasta mañana, xuglurz?”

“Pero, ¿eso es todo?”, preguntas. “Si acierto, ¿no salgo libre? ¿de qué sirve entonces que piense en la respuesta correcta?”

“Ah, no, mucho me temo que este experimento no es de esa clase”, responde el Alienígena matemático. “Tu supervivencia sólo depende de la probabilidad. Eso sí, si consigues acertar la probabilidad de supervivencia y luego, desafortunadamente, resulta que la bola coincide con tu celda… tendremos la cortesía de acabar con tu vida antes de la cena”, y la criatura te sonríe con sus varias filas de dientes amarillentos y puntiagudos.

De modo que, estimado xuglurz, ¿qué probabilidad tienes de sobrevivir en este caso? Hemos empezado con un problema tan sencillo como es posible en este caso, de modo que no creo que tengas dificultades para llegar a la respuesta correcta y, así, asegurarte al menos una muerte relativamente indolora. En cualquier caso, piénsalo antes de seguir leyendo.

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Para llegar a la respuesta correcta no hay más que tener en cuenta, en primer lugar, las posibles combinaciones, que en este caso son dos: o bien la bola 1 va a la celda 1 y la 2 a la celda 2, o bien sucede lo contrario y la bola 1 va a la celda 2 y la 2 a la celda 1. En el primer caso tu bola coincide con tu celda y pierdes la vida, en el segundo sobrevives. De manera que la probabilidad de supervivencia en cada ronda es de 1/2. Puesto que el monstruo realiza el proceso dos veces y sólo sobrevives si superas ambas con éxito, la probabilidad total de supervivencia es de 1/2 de 1/2, es decir, 1/4 (0,25), que no es más que la probabilidad de que el monstruo introduzca en tu celda la bola 2 la primera vez, y de nuevo la bola 2 la segunda vez, la única manera de sobrevivir en este caso.

Por cierto, observa que en este caso –no necesariamente en otros posteriores– tu compañero de prisión y tú os salváis o morís juntos, ya que si uno sobrevive, el otro necesariamente sobrevive también, y viceversa; pero digo esto sólo como curiosidad ya que, en este artículo, quien nos interesa eres tú, por supuesto.

Afortunadamente para ti –y para la historia, porque si no, vaya sosería–, cuando el monstruo realiza el proceso aleatorio (y lo es realmente, pues los Alienígenas matemáticos nunca mienten en sus experimentos con humanos, es una cuestión de educación en la mesa), introduce la bola 2 en tu celda ambas veces, con lo que sobrevives hasta el día siguiente… en el que el experimento se repite. Sin embargo, esta vez al mirar fuera ves que, además de la celda llena del día anterior, hay otra más, numerada como 3. El Alienígena matemático te sonríe a través de los barrotes.

“Buenos días, xuglurz”, te saluda de nuevo. “Esta vez el experimento será un poco más complejo que ayer. Hay tres celdas numeradas del 1 al 3, y la tuya, como siempre, es la celda 1”, anuncia. “Haré lo mismo que ayer, sólo que esta vez con tres bolas numeradas del 1 al 3 e introducidas aleatoriamente en las celdas. Si la tuya no coincide con tu celda, sobrevivirás… pero realizaré el proceso tres veces en vez de dos. ¿Cuál es tu probabilidad de supervivencia en este caso? Recuerda que te aseguras fallecer antes de la cena si aciertas en la respuesta.”

Como antes, piensa un poco y luego sigue leyendo – la cosa es un poco más complicada, pero no mucho más que antes.

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En este caso, la probabilidad de sobrevivir cada ronda es mayor que antes, claro, porque hay más celdas, luego es menos probable que tengas la mala suerte de que te toque la bola 1 en tu celda. De hecho, la probabilidad de que tu bola sea la bola 1 y mueras es sólo de 1/3, ya que hay 3 bolas; sobrevivirás 2/3 de las veces. Pero, por otro lado, ahora el proceso se repite tres veces, con lo que tu probabilidad total de supervivencia es de 2/3 al cubo, es decir, 8/27 (0,296296…). En resumen, algo mayor que el día anterior.

Llegado este punto te cuento otra cosa más: este experimento está siendo televisado por el CPI ((¡Los homenajes no sólo son para matemáticos famosos!)), el Canal de Probabilidades Inquisitivas, de experimentos probabilísticos y apuestas salvajes. El primer día, las apuestas a favor de tu supervivencia se pagaban 4 a 1, y el segundo día se pagan 27 a 8, es decir, 3,375 a 1, un poco peor ya que tu probabilidad de supervivencia era un poco mayor. Pero sigamos, porque esto no ha terminado todavía ya que, una vez más (qué casualidad, ¿no?) tienes suerte y sobrevives a la prueba.

El siguiente día observas que hay otras nueve celdas llenas en la sala, y diez bolas en la caja; increíblemente sigues vivo, puesto que afortunadamente las bolas que recibió tu celda fueron la 3 primero y la 2 después. Tus otros dos compañeros, por cierto, no fueron tan afortunados y han sido reemplazados por carne nueva.

El Alienígena simplemente te sonríe de nuevo y arquea tres o cuatro cejas interrogativamente. “¿Y bien?”, pregunta… y yo te pregunto a ti: ¿qué probabilidad de supervivencia hay en este caso, y cómo se pagan las apuestas en el CPI? Coge un lápiz y un papel, y tal vez una calculadora, y ejercita la materia gris antes de seguir.

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La probabilidad de sobrevivir una ronda es ahora excelente: 9/10 de que tu bola no sea la que se corresponde con tu celda. Pero claro, se trata de diez rondas, luego la probabilidad total es (9/10)^10, es decir, 3486784401/10000000000 (0,3486784401). Y las apuestas se pagan 10000000000 a 3486784401, es decir, 2.8679719907924413 a 1. Sí, me imagino que ya estás viendo por dónde van los tiros y a dónde nos vamos acercando; de hecho, ¡en mi opinión nos hemos acercado de manera sorprendente con sólo diez rondas!

Pero acerquémonos más; te prometo que es el último paso concreto que damos: imaginemos que no hay diez celdas, sino un millón de celdas. ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivas tras un millón de rondas del macabro juego?

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En este caso, la probabilidad de supervivencia en cada ronda es casi 1, ya que es 999999/1000000 o 0,999999, pero al haber un millón de rondas, la probabilidad neta es 0,999999^1000000, es decir, 0,36787925722106646. Y las apuestas se pagan 2,7182831876793716 a 1. Por si quieres comparar, el número e es 2.7182818…, es decir, estamos clavando ya cinco cifras significativas y nuestro error es por tanto de alrededor de uno entre un millón.

Es posible que tengas ya la fórmula genérica, con la que podemos obtener el límite para infinitas celdas e infinitas bolas realizando infinitas rondas. La probabilidad de morir en una ronda con n celdas es 1/n, con lo que la probabilidad de sobrevivir una ronda es 1 - 1/n. Al tratarse de n rondas, la probabilidad de sobrevivir al final es (1 - 1/n)^n. Y el límite de esa expresión, al hacer n infinitamente grande, es 1/e; en ese caso, el CPI estaría pagando las apuestas de tu supervivencia e a 1. Con lo que, si estuviéramos locos y no nos preocupase lo más mínimo la seriedad en la definición, podríamos afirmar algo tan absurdo como que

El número e se define como la inversa de la probabilidad de supervivencia en el juego macabro de las celdas y las bolas cuando hay infinitas celdas y bolas y se realizan infinitas rondas.

Sin embargo, existe otra formulación más interesante del problema, que fue planteada por primera vez por el matemático francés Pierre Rémond de Montmort en 1708, en su Essay d’Analyse sur les Jeux de Hazard. Al estudiar distintos juegos de azar y cuestiones probabilísticas, de Montmort se topó de bruces con un viejo conocido nuestro… pero, naturalmente, no vamos a plantear aquí el dilema de Montmort sin más, porque sería demasiado mundano. Lo haremos hablando de aquella fatídica conspiración en Epsilon Eridani, cuando el afiladísimo olfato de los Lémures de Magallanes jugó una mala pasada a la resistencia contra el Virrey de Sirio…

Conspiración en Epsilon Eridani

El Sector de Sirio –del que la Tierra forma parte desde su conquista por parte de los Alienígenas matemáticos– estaba regido por el espantoso Tromemerrondipte. Este repugnante ser era de tal crueldad que su pasatiempo favorito era cortar cebollas delante de gatitos, simplemente para verlos llorar. No puede decirse que no tuviera corazón: tenía tres, como es natural, pero sin el menor resquicio de emoción altruista o misericordiosa en su retorcido cerebro. Gracias a esta naturaleza admirable había conseguido convertirse en Virrey de Sirio.

Sin embargo, la brutalidad del gobierno virreinal de Sirio era tan exagerada que había provocado algo nada deseable: un movimiento de resistencia organizado, en todo el sector, por parte de las diferentes especies subyugadas por los Alienígenas matemáticos. Este movimiento pretendía lograr, si no la independencia del Imperio –algo impensable–, al menos el derrocamiento de Tromemerrondipte. Pero ¿cómo conseguirlo? La respuesta la tenía un solo hombre – o, mejor dicho, un solo Lémur de Magallanes, el intrépido y sibilino Bolcajurneblio, un mercenario del espionaje veterano de muchas rebeliones.

Bolcajurneblio había conseguido una información delicadísima que había costado muchas vidas, y que era casi impensable: el Virrey Tromemerrondipte tenía una debilidad, un punto flaco en el que era no sólo misericordioso sino afable, blando, cariñoso y hasta cursi. Se trataba de la bellísima Hypatia de Achenar, una criatura delicada y etérea, y el Virrey estaba completamente colado por ella – tanto que ambos mantenían un tórrido y baboso romance. Tal vez desde el punto de vista humano no sea fácil comprender lo escandaloso de todo el asunto, si llegase a conocerse:

Por una parte, Hypatia no era una Alienígena matemática, sino una filipandrina, una especie de bello rostro pero vacuo cerebro (los chistes sobre Achenar y los filipandrinos son famosos en toda la Galaxia). Además, se trataba de una filipandrina particularmente torpe, y los Alienígenas matemáticos varones siempre eligen a su pareja basándose en la agudez de su inteligencia –entre otras cosas porque la apariencia siempre es tremendamente desagradable–, y encima, la profesión de Hypatia era absolutamente inaceptable – era mima. Pocas culturas en la Galaxia toleran la existencia de los mimos, y aquellas que los toleran suelen durar poco tiempo (¿coincidencia? yo creo que no). En cualquier caso, los Alienígenas matemáticos odiaban con auténtica pasión a los mimos, y esa profesión era clandestina en el Imperio.

En resumidas cuentas, que de conocerse el romance entre Hypatia y Tromemerrondipte, lo más probable es que el Virrey perdiese su puesto y, de paso, la cabeza. Y el espía Bolcajurneblio no sólo sabía de esta relación ilícita, sino que además había conseguido la fecha, hora y lugar del siguiente encuentro entre ambos amantes, con lo que podría instalarse algún sistema de grabación y tener pruebas del vergonzoso affair; esta información era, como puedes comprender, de una importancia tremenda para la resistencia, y Bolcajuneblio sabía exactamente cómo hacerla llegar a sus destinatarios.

Ese día había una recepción oficial en el Palacio Virreinal de Epsilon Eridani, a la que asistían los embajadores de todos los planetas subyugados en el sector. El protocolo del evento era muy claro: hacía falta ir vestido de gala, con sombrero de copa, que se dejaría en la consigna a la entrada del palacio, para ser recogido a la salida. Y ésa era la clave del plan del Lémur Bolcajurneblio para hacer llegar el gran secreto a todos los embajadores: escribiría el secreto en un trozo de papel para cada embajador, y se haría pasar por el encargado de la consigna. Recogería los sombreros según entrasen los embajadores, y luego introduciría cada papel en cada sombrero antes de entregarlo de vuelta al final del evento, de modo que los embajadores lo encontrasen cuando llegasen a sus respectivos planetas. Un plan perfecto, salvo por un par de detalles.

Los Lémures de Magallanes, como hemos mencionado ya en alguna historia anterior, son criaturas muy sensibles y de un olfato finísimo, pero ahí está su punto débil: algunos olores los perturban, alteran su estado de consciencia y, por así decirlo, los vuelven borrachos como cubas. Y uno de esos olores no es otro que el del almizcle emitido por los Cisnes de Cisne (así llamados porque provienen del sistema 61 Cisne, y por tener apariencia… bueno, pues de cisne, casualmente). Puesto que 61 Cisne es uno de los sistemas estelares del Sector de Sirio, el embajador estaba invitado a la recepción, y cuando pasó frente a la consigna y entregó su sombrero a Bolcajurneblio, todo empezó a ir mal.

El Lémur empezó a ver borroso y, de pronto, la resistencia, su plan y todo lo demás parecieron no ser tan importantes como antes. Ante los efluvios del almizcle del Cisne, el pobre espía sucumbió al equivalente de una tremenda cogorza y no recordó mucho más durante unas horas. Cuando despertó, descubrió horrorizado que todo había terminado ya: la recepción había finalizado, todos los embajadores se habían ido y la consigna estaba vacía. ¡Los mensajes! ¡Los sombreros! ¡Todo se había ido al traste!

Afortunadamente, a su lado apareció su fiel ayudante Reluedrahnoel, que le sonrió tranquilizadoramente.

“No se preocupe por los mensajes, jefe: cuando vi que usted empezaba a balancearse y caía inconsciente, me puse manos a la obra yo mismo. ¡Me he encargado de todo!”

Bolcajurneblio tragó saliva: su ayudante era fidelísimo, pero era un filipandrino, y no de los listos precisamente. Los mensajes estaban escritos cada uno en el lenguaje del planeta correspondiente, y ninguna de las especies invitadas hablaba la lengua de ninguno de los otros: por eso, Bolcajurneblio debía introducir cada mensaje con cuidado en el sombrero del embajador correspondiente, o todo su plan no serviría de nada, ya que el embajador sería incapaz de comprenderlo y cazar a los amantes in flagrante delicto.

“¿Has metido los mensajes en los sombreros?”, preguntó el Lémur al sonriente Reluedrahnoel, temiendo la respuesta.

“Desde luego, jefe: un mensaje en cada sombrero, como usted hubiera hecho”, respondió el filipandrino sonriendo –los filipandrinos no son muy listos, pero sí extremadamente afables–.

“¿Cada mensaje en el sombrero del embajador que conoce el lenguaje de ese mensaje en concreto?”, preguntó Bolcajurneblio.

“¿Puede repetirme la pregunta, jefe?”

Bolcajurneblio tragó saliva de nuevo y empezó a mesarse las sienes con desesperación. “Cada mensaje estaba destinado a un embajador en concreto, y ese mensaje es inútil para cualquier otro, porque no lo entendería. El mensaje para el embajador humano, por ejemplo, estaba escrito en humano, ¡y si no lo has introducido en el sombrero del embajador humano, ese mensaje es inútil!”

La sonrisa de Reluedrahnoel disminuyó en intensidad. “Bueno, yo… yo he introducido un mensaje en cada sombrero”, repitió el filipandrino. “No sabía que importase a quién le daba qué mensaje, así que no me he fijado en eso…“

“¿Me estás diciendo, mi querido, mi fiel, mi inseparable Reluedrahnoel, que has metido los mensajes en sombreros AL AZAR?”, exclamó el Lémur, abriendo mucho los ojos –y, si has visto a algún Lémur de Magallanes abrir mucho los ojos, se trata de algo extraordinario–. Y su asistente simplemente asintió, sonriendo aún levemente.

Reluedrahnoel lo miró unos segundos mientras su mente trabajaba endiabladamente rápido.

“Al menos, aún hay esperanzas”, dijo. “Basta que al menos un embajador, por simple suerte, haya recibido el mensaje correcto, para que introduzca sistemas de grabación en el lugar de encuentro entre el Virrey y la bella Hypatia, y con eso bastará para cazarlo… Había veinte embajadores en la recepción, con lo que les has entregado veinte mensajes, uno a cada uno, de manera aleatoria… tal vez algún mensaje haya acabado en el sombrero correcto, ¿no? ¡Muy mala suerte tendríamos que tener para que ni uno solo haya terminado en el sombrero bueno!”

Y, una vez más, la mente de Bolcajurneblio se puso a trabajar a gran rapidez, mientras su expresión se iba tornando más y más aliviada. “¡Tal vez tengamos suerte! Al menos, es más probable que alguno se haya llevado el mensaje correcto, y no que todo sea un desastre y ningún mensaje esté en el sombrero adecuado.”

“¿De verdad, jefe? ¿No parece mucha casualidad?”

“No. De hecho, la probabilidad de que suceda el desastre es muy aproximadamente 1/e, es decir, alrededor del 37%, y el 63% restante es la probabilidad de que al menos un embajador se lleve el mensaje correcto.” Y, mientras los ojos de su ayudante se tornaban desenfocados al intentar comprenderlo, Bolcajurneblio intentó explicarle cómo había llegado a esa conclusión. De modo que yo te pregunto a ti, estimado lector, ¿cómo llegó Bolcajurneblio a esa conclusión? No es fácil hacerlo, aunque puede hacerse por varios caminos diferentes. Mi recomendación es empezar tal vez en un caso muy simple, como hicimos antes: con dos embajadores y dos mensajes. Y, después, ir subiendo e intentar encontrar alguna relación, una fórmula recursiva, lo que sea. Si te manejas en algún lenguaje de programación, puedes ponerlo en marcha –yo mismo os dejaré un pequeñísimo programa que calcula esta probabilidad de manera recursiva–.

En un par de días pongo la respuesta y razonamiento, para dar tiempo de pensar y, además, para oxigenar las neuronas mientras tanto, que por hoy ya las has maltratado bastante. Esto no es ningún desafío, ni tienes que mandar nada, ni hace falta que contestes en comentarios, ni nada… es simplemente pensar por el placer de pensar sin decírselo a nadie. Como siempre, mi recomendación es que no comentes a familiares ni amigos que dedicas parte de tu tiempo libre a estas cosas, si quieres mantener el poco respeto que aún te tienen. Tú verás lo que haces.

Puedes seguir con la segunda parte y la solución aquí.