Tras hablar sobre lo que es la Mecánica en general, y la Mecánica Clásica en particular, en la introducción al bloque, hoy empezaremos a establecer los conceptos fundamentales con los que trabajaremos el resto del bloque (y en otros superiores basados en éste, claro). A pesar de que, en muchos casos, se trata de cosas relativamente básicas, mi intención es doble: por una parte, centrarme en la asimilación de los conceptos más allá de las fórmulas –ya que no las usaremos por ahora–; por otra, desterrar algunas ideas faltas que todos solemos tener en la cabeza. Sin más, empecemos a definir conceptos, magnitudes y unidades sin piedad.

Sistemas de referencia

Dado que nuestro objetivo en este bloque es describir el movimiento y sus causas, lo primero que es esencial comprender es el hecho de que el movimiento es relativo. Es más: no tener esto absolutamente claro implica no entender la Mecánica en general. El problema es que es fácil olvidarlo, pues a nuestra intuición le resulta mucho más inmediato considerar el movimiento como absoluto. Sin embargo, creo que lo mejor es atacar esto con un ejemplo concreto que te involucre a ti mismo. De modo que, estimado y paciente lector, ¿estás ahora mismo moviéndote, o en reposo?

Si no pensamos sobre ello, lo inmediato es responder (salvo que estés en un tren, por ejemplo) que estás en reposo; es posible, desde luego, que seas un listillo y hayas respondido “¿En reposo respecto a qué?”, pero no es eso lo que suele suceder cuando alguien aprende esto por primera vez. Mi propia intuición, y mira que lo he pensado veces, me sigue diciendo que ahora mismo, mientras escribo estas palabras, estoy parado… pero, como tantas otras veces, la intuición puede resultar traicionera.

Porque claro, pensemos un poco; la Tierra gira alrededor de su eje dando una vuelta cada veinticuatro horas, con lo que no estás parado “de verdad”. No voy a meterme aquí a justificar cálculos, de modo que tendrás que creerme, pero eso significa que, si estás sentado en una silla en tu casa, te mueves a unos 1 600 km/h alrededor del eje de nuestro planeta. De modo que tu velocidad “de verdad” es de unos 1 600 km/h… ¿o no? Pues no, claro que no, porque la Tierra se mueve alrededor del Sol dando una vuelta cada año, lo cual significa que tu velocidad alrededor de la estrella es de unos 100 000 km/h, ¡que no está nada mal! Pero tampoco ésa es tu velocidad real, naturalmente, porque nuestro Sol se mueve alrededor del centro de la Vía Láctea dando una vuelta más o menos cada 225 millones de años, y nuestra velocidad correspondiente es de unos 800 000 km/h. Y la cosa no acaba ahí, pero creo que no tiene sentido seguir: no hay un “de verdad”, no hay una “velocidad real”, ni la pregunta que te he hecho tiene sentido (soy así de retorcido), pero creo que seguir este argumento y, especialmente, equivocar la respuesta inicial, es la mejor manera de asimilarlo de veras.

¿En reposo? Va a ser que no (NASA, versión a 1440x1540 px).

No, cualquier intento serio de describir el movimiento de algo debe tener claro que ese movimiento está referido a un observador concreto – y, como veremos a lo largo del bloque, no hay ningún observador que tenga la verdad última, ya que no hay manera de establecer un “de verdad” de ninguna manera empíricamente coherente. Esto significa, por ejemplo, que puedo perfectamente decir que el vaso de agua que hay sobre la mesa está parado… respecto a mí, o respecto a la mesa, y estoy siendo absolutamente claro al hacerlo. Es más, muy comúnmente ni siquiera se añade la coletilla, sino que simplemente se dice que el vaso está parado… pero ser consciente del “respecto al suelo”, “respecto a mí” o “respecto a lo que sea”, aunque no se diga, es crucial, ya que de ese modo podemos establecer una relación lógica entre lo que ve un observador y lo que ve otro diferente.

Un sistema de referencia, por tanto, es un marco de observación concreto respecto al que describimos el movimiento de las cosas. Veremos más adelante que, aunque no hay ningún sistema de referencia “de verdad”, hay algunos en los que las leyes de la Física toman una forma más simple que en otros, de modo que suelen emplearse más a menudo que los demás, pero la clave de este epígrafe es simplemente que seas consciente de cualquier descripción del movimiento se hace respecto a un sistema de referencia concreto y que, antes de empezar a estudiar ningún movimiento, debemos tener clarísimo cuál es el sistema de referencia que estamos usando, no sea que la traicionera intuición nos juegue una mala pasada.

Las buenas noticias son que, ya que podemos elegir el marco de observación que nos dé la gana, es decir, el sistema de referencia que nos plazca, podemos elegir uno que haga las cosas lo más claras y simples posibles. Por ejemplo, si nuestro objetivo es conocer el movimiento de una mosca dentro de una habitación, sería un poco absurdo elegir como marco de referencia el centro de la Galaxia con el Sistema Solar girando a su alrededor y la Tierra girando alrededor del Sol y rotando sobre sí misma… el movimiento de la mosca respecto a ese punto sería algo complicadísimo, pero añadir esa complicación no nos proporcionaría ninguna información adicional de utilidad para comprender el sistema físico: no, sería mucho más inteligente elegir, por ejemplo, el sistema de referencia de la propia habitación y considerarla en reposo. Es posible que hacerlo tenga algunas consecuencias, y de ello hablaremos en entradas posteriores, pero siempre podemos elegir lo que nos dé la gana.

A lo largo de este artículo nos fijaremos en un ejemplo concreto, de modo que todo esto no sean diatribas abstractas: intentaremos describir el vuelo de una mosca en una habitación. Nuestro sistema de referencia será, por lo tanto, el que de manera más sencilla nos permita describir ese movimiento, en este caso la propia habitación considerada en reposo. De modo que diremos que la mosca está parada cuando lo esté respecto a la habitación, y que se mueve cuando su posición cambie respecto a la habitación.

Coordenadas y grados de libertad

Una vez hecho eso, podemos elegir un conjunto de números denominados coordenadas que describan la posición de los objetos, observados desde nuestro sistema de referencia. Una vez más, podemos elegir las coordenadas que nos dé la gana, siempre que describan el movimiento de las cosas de una manera clara y coherente; y una vez más, si elegimos bien las cosas serán bastante simples y fáciles de comprender, mientras que una mala elección nos hará la vida mucho más difícil.

La primera elección es importantísima: debemos decidir cuántas coordenadas son necesarias, es decir, cuántos números diferentes son necesarios para conocer la posición exacta del objeto en el sistema físico que nos ocupa. Dicho de un modo más finolis, debemos tener claro cuántos grados de libertad tiene nuestro sistema físico. Si se trata de un objeto puntual que se mueve por el espacio, como consideraremos aquí que es nuestra mosca en la habitación, lo más típico es que existan tres grados de libertad, ya que podemos identificar la posición de la mosca en la habitación utilizando tres coordenadas diferentes, pero en ocasiones el número puede ser distinto. Por ejemplo, si nos fijamos en el movimiento de un tren que viaja por una vía completamente rectilínea, es posible que con una sola coordenada tengamos localizado el tren.

Es posible, desde luego, meter la pata y utilizar más coordenadas de las necesarias o menos, pero no es igual de grave una cosa que la otra: si elegimos menos de las necesarias, estaremos dejando de lado información importante y nuestra descripción del sistema será incompleta. Sin embargo, si creemos que el sistema tiene más grados de libertad que los que tiene de verdad, nuestra descripción será completa pero redundante, es decir, más compleja de lo necesario para llegar a resultados idénticos a los que alcanzaríamos con una descripción más simple y elegante… moraleja: en la duda, mejor pasarse que quedarse corto, aunque lo ideal es acertar, claro.

En nuestro ejemplo de la mosca en la habitación, puesto que en principio la mosca puede volar en cualquier dirección, estudiaremos su movimiento considerando tres grados de libertad: puede moverse en las tres direcciones del espacio. Dicho mal y pronto, puede moverse a izquierda y derecha, delante y detrás, arriba y abajo, con lo que su posición en la habitación vendrá identificada por tres números, las tres coordenadas que deberemos emplear para localizarla.

Una vez determinado el número de coordenadas necesario, debemos elegir cuáles son. A lo largo de este bloque utilizaremos casi siempre las que suelen resultar más intuitivas, unas viejas conocidas, las coordenadas cartesianas de toda la vida. Identificar la posición de cualquier punto utilizándolas es sencillo, ya que basta con elegir un origen (el punto en el que todas las coordenadas valen 0) y unos ejes de coordenadas, y luego indicar la distancia al origen a lo largo de cada eje, de modo que el signo refleje hacia dónde estamos midiendo. Esto puede sonar un poco raro si nunca has hecho estas cosas, pero es de lo más sencillo si lo ves con un ejemplo, de modo que hagámoslo en el caso de la mosca y la habitación.

A pesar de que lo más sencillo en este caso sería seguramente elegir el origen de coordenadas en una esquina de la habitación, como quiero que aparezcan por aquí los signos elegiremos el centro exacto de la habitación, como se indica en la figura. Nuestros tres ejes de coordenadas serán, como hemos dicho antes, las tres direcciones del espacio, y los llamaremos x, y, z. Da exactamente lo mismo dónde elijamos el origen, cuáles sean los ejes y cómo se llamen, siempre que lo recordemos luego y seamos coherentes con ello:

¿Cómo localizar a la mosca en cualquier punto de la habitación utilizando nuestras coordenadas? Simplemente dando un trío de números, que nos indican a qué lado y a qué distancia del origen se encuentra a lo largo de cada eje. Es algo parecido al sistema del juego de los barcos (“A7”, “¡Agua!”). Pongamos que, en nuestro ejemplo, la coordenada x es positiva hacia la derecha y negativa hacia la izquierda, y es positiva hacia “dentro” y negativa hacia “fuera”, y z es positiva hacia arriba y negativa hacia abajo. En la figura, voy a indicarlo con flechas que reflejen el sentido positivo de cada eje de coordenadas:

Posición

Una vez elegido el origen, las coordenadas y sus signos, es como si hubiéramos solapado una especie de retícula infinitamente fina sobre la habitación, de modo que podemos identificar cualquier punto sobre la retícula con tres números, que nos indiquen cuantos “pasos” nos debemos mover hacia derecha o izquierda, dentro o fuera, arriba o abajo, desde el origen (en nuestro caso, desde el centro de la habitación). Si la mosca está, por ejemplo, en x = 1.5 metros, y = 2 metros, z = -0.5 metros, eso significa que para encontrarla debemos movernos, desde el origen, 1.5 metros hacia la derecha, 2 metros hacia dentro y 0.5 metros hacia abajo – observa cómo el signo nos indica hacia dónde en cada deje, y la distancia nos indica cuánto. Como la mosca está por debajo del origen, la coordenada z es negativa (-0.5 es lo mismo que 0.5 metros por debajo del origen).

Nuestro sistema de coordenadas nos proporciona una identificación matemática única para cada punto de la habitación. Una manera más sencilla de escribir la posición de la mosca, por cierto, es hacerlo diciendo que la mosca está en (1.5, 2, -0.5) m. La posición de cualquier objeto en nuestra habitación puede expresarse, por tanto, con un trío de números similar, denominado vector, por ejemplo, (-1.2, 0, 0). Si la mosca está justo en el punto que hemos elegido como origen de coordenadas, por supuesto, matemáticamente se encontrará en (0, 0, 0).

Como puedes ver, la posición de un cuerpo puede expresarse gráficamente (simplemente dibujando el punto en el dibujo donde sea) o numéricamente (con sus coordenadas). A lo largo de este bloque introductorio utilizaremos bastante más el sistema gráfico que el numérico, pero es importante que comprendas que ambos son equivalentes y es posible pasar de uno al otro sin problemas – en bloques superiores trabajaremos más con números que con dibujos, pero es inútil utilizar los números si no “ves” lo que significan gráficamente en tu cabeza.

Unidad de posición - el metro

Sí, sí, ya sé que sabes perfectamente lo que es un metro… pero soy un poco obsesivo-compulsivo, y no quiero dejar de definir las cosas que utilicemos, que nunca se sabe cuándo puede resultarnos útil más adelante. Aunque ya hemos visto que las coordenadas que determinan la posición de un objeto no tienen por qué ser las cartesianas, como a lo largo de este bloque sí las utilizaremos, mediremos las distancias a lo largo de los ejes en metros.

La definición del metro como unidad del Sistema Internacional ha variado bastante a lo largo del tiempo, según ha ido aumentando la precisión en nuestros aparatos de medida, y de ello hemos hablado precisamente cuando conocimos el Premio Nobel de Física de 1907 otorgado al ímprobo A. A. Michelson, pero el caso es que ésta es la definición actual:

Un metro es la distancia que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de 1/299 792 458 de segundo.

Lo cual, como suele suceder con estas definiciones, no dice mucho, pero afortunadamente el metro es una unidad con la que todos estamos muy familiarizados, con lo que no hace falta que me ponga a farfullar sobre qué es realmente un metro ni cómo imaginarlo… de modo que no te haré perder el tiempo, eso ya lo haré cuando definamos otras unidades menos evidentes.

Concepto de desplazamiento

Una vez establecido nuestro sistema de coordenadas, saber si algo se mueve o no es fácil: un cuerpo está en reposo si su posición no cambia, mientras que se mueve si su posición cambia. Como puedes ver, aquí está lo relativo de todo el asunto, porque dependiendo de nuestro sistema de referencia, la posición de un cuerpo puede cambiar o no. El caso es que, en el ejemplo anterior, si nuestra mosca permanece en (1.5, 2, -0.5) durante media hora, decimos que la mosca está en reposo durante ese período. Si la mosca cambia de posición, es que se ha movido… ya, ya, de perogrullo.

Lo bueno de nuestro sistema de coordenadas es que, si la mosca se mueve, no sólo sabemos que lo ha hecho (pues sus coordenadas varían), sino que sabemos también cuánto se ha movido y hacia dónde lo ha hecho. Por ejemplo, supongamos que cuando miramos a la mosca en un momento dado se encuentra en (1.5, 2, -0.5), y que cuando la miramos un poco más tarde está en (1.5, 2, 0). No sólo podemos afirmar que la mosca se ha movido, sino que además sabemos que:

• La mosca está ahora a medio metro de donde se encontraba antes.

• La mosca se ha movido hacia arriba.

La variación en la posición de la mosca se denomina desplazamiento, y por ahora vamos a fijarnos en él de forma gráfica. ¿Cómo expresar gráficamente cómo se ha desplazado la mosca? Simplemente dibujando ese “medio metro hacia arriba” como una flecha que una la posición inicial de la mosca y su posición final:

Como he dicho antes, a lo largo de este bloque trabajaremos más gráfica que numéricamente, pero no quiero dejar de relacionar ambas maneras de mirar esto por si se te enciende la bombilla. Igual que la posición era un vector que nos indicaba (cuánto a la derecha o izquierda, cuánto hacia dentro o fuera, cuánto hacia arriba o abajo) respecto al origen, el desplazamiento es también un vector, por supuesto, ya que nos indica lo mismo pero respecto al punto en el que se inició el movimiento. El desplazamiento de nuestra mosca en este caso ha sido, por lo tanto, (0, 0, 0.5), lo cual es “medio metro hacia arriba”.

Si te fijas, podemos expresar la posición final de la mosca como su posición inicial más lo que se ha movido, es decir, el desplazamiento, sumando coordenada a coordenada: (1.5, 2, 0) = (1.5, 2, -0.5) + (0, 0, 0.5). De igual modo, podríamos haber calculado numéricamente el desplazamiento de la mosca restando su posición final menos su posición inicial para obtener cuánto se ha movido: (0, 0, 0.5) = (1.5, 2, 0) - (1.5, 2, -0.5). Y el desplazamiento se mide, por supuesto, en lo mismo que la posición: en metros.

Desde luego, con saber cuánto se ha movido nuestra mosca no tenemos toda la información interesante: ¿lo ha hecho rápido o despacio? ¿qué camino ha seguido desde el inicio hasta el final? De eso hablaremos en la segunda entrega del bloque, pero antes, como casi siempre, repaso a las ideas centrales y desafío al canto.

Ideas clave

Para afrontar con garantías el resto del bloque, debes haber asimilado los siguientes conceptos fundamentales:

• Un sistema de referencia es un marco de observación de un sistema físico determinado.

• Un sistema de coordenadas consta de un origen y un conjunto de coordenadas que debe ser igual al número de grados de libertad del sistema

• El origen de coordenadas representa el lugar en el que todas las coordenadas son nulas

• Una coordenada cartesiana es un número con signo que indica hacia dónde y cuánto hace falta moverse sobre el eje correspondiente desde el origen

• La posición de un objeto viene dada por un vector, es decir, un conjunto ordenado de coordenadas en el sistema que se haya elegido, y se corresponde con un punto del espacio.

• La unidad de la posición en un sistema de coordenadas cartesianas en el Sistema Internacional es el metro.

Hasta la próxima…

Como suele suceder al empezar un bloque, no tenemos mucho con lo que plantear desafíos, pero sí puedo hacerte pensar un poco en estas cosas, lo cual siempre viene bien. De modo que aquí tienes un desafío relativamente simple para pasar unos minutos pensando.