Sí, lo siento: este artículo es una entrega de la serie sobre los Alienígenas matemáticos, el conjunto de artículos más absurdo, inútil y pedante que pueda imaginarse. Si tienes la suerte de no conocer esta serie, lo mejor es que sigas así y dediques tu tiempo a algo más útil: lee un libro, ve a dar un paseo o mira a la pared mientras meditas sobre su textura pero no sigas leyendo esto. Dicho de la manera más simple y llana, la lectura de cualquiera de estos artículos es ortogonal a cualquier uso práctico del tiempo que requiere. Avisado estás.

¿Ya se han ido los cuerdos? Bien, pues entremos en materia.

Hace bastante tiempo conocimos a los maravillosos cthulhucitos, la especie de criaturas de gentil carácter y sorprendentes propiedades que, una vez esclavizados por Terdlanbomitnbeo, le habían proporcionado pingües beneficios. Si no leíste aquel artículo, por cierto, es conveniente que lo hagas antes de seguir con éste, ya que ambos están relacionados y es posible que asimiles mejor el de hoy si comprendiste el anterior.

Como recordarás, en aquella entrada, aparte de conocer a los monísimos y tentaculados cthulhucitos, describimos una línea “rara”: no llegaba a ser un fractal, pero sí rompía con la intuición y se comportaba de un modo bastante extraño y poco euclídeo. Hoy conoceremos otra historia relacionada con estos pequeños seres y su malévolo amo, pero esta vez sí, construiremos nuestro primer fractal haciendo cálculos juntos. De paso, seremos testigos del colapso de un gobierno interestelar. ¿Hace?

Para que construyas tú el fractal, y no te limites a leer sobre ellos, en algunos momentos de la historia te pediré que hagas algunos cálculos tú mismo y luego sigas leyendo para comprobar el resultado; cuando eso suceda, simplemente diré cariñosamente “¡Calcula, sub-criatura!”, y luego dejaré un pequeño espacio para que puedas parar la lectura y coger un lápiz y un papel. Sigue leyendo cuando tengas el resultado en cuestión, si es que tu minúsculo cerebro humano puede llegar a él.

La baldosa del Palacio de Nholeghoveck

El Sátrapa de Aquila era feliz: había conquistado un subsector entero en pocas décadas y, tras una hábil negociación –y el pago de cuantiosos tributos– había logrado mantener una cierta independencia del Imperio de los Alienígenas Matemáticos. Todo parecía salirle bien, y el Sátrapa se consideraba muy afortunado. Poco imaginaba que una combinación de vanidad (suya) e incompetencia (de su secretario) lo lanzaría a los brazos del terrible Imperio y que a su Satrapía sólo le quedaban unos meses de vida.

El desastre empezó cuando el Sátrapa decidió conmemorar sus conquistas construyendo un palacio deslumbrante en la capital, Nholeghoveck, un lugar gélido e inhóspito al que el verano no llegaba jamás. El Palacio de Nholeghoveck sería el más maravilloso de todo el sector: en él se emplearían los materiales más caros, los diseños más innovadores y exquisitos, y cualquiera que visitara Nholeghoveck no olvidaría jamás ese edificio singular en honor al poderoso y clarividente Sátrapa de Aquila.

El descomunal proyecto estaba dirigido por la mano derecha del megalómano Sátrapa, su secretario: un Lémur de Magallanes llamado Onaep, una criatura de una meticulosidad casi obsesiva y un gran cuidado con la contabilidad. Onaep no se confundía haciendo cuentas jamás, y prácticamente nunca olvidaba ningún detalle - prácticamente.

El proyecto del Palacio avanzaba a buen ritmo, pero quedaba algo por decidir: el suelo del Gran Salón. Poco tiempo antes, en una región externa de la Galaxia, se había descubierto un material nuevo, el ytterrerrio, del que había tan sólo una pequeña cantidad en toda la Galaxia. Era, por lo tanto, una sustancia carísima; además de su escasez, el ytterrerrio tenía colores indescriptibles con reflejos maravillosos en el especto visible por varias especies galácticas – cada especie lo veía de un color diferente, pero para todos era de gran belleza.

Pero claro, el precio era inasequible casi para cualquiera. Aunque Onaep había pensado inicialmente cubrir el suelo del Gran Salón con baldosas de ytterrerrio, cada metro cuadrado de baldosa costaba un billón de Ŧ, y el Gran Salón era enorme. De modo que el Lémur decidió utilizar un material más asequible para cubrir casi todo el Gran Salón, y poner una única baldosa de ytterrerrio en el centro, de modo que llamase la atención de los visitantes con su bello color y su diseño. Pero tenía que ser, claro está, una baldosa de diseño innovador: un cuadrado o un círculo hubieran sido un desprecio a tan maravilloso material.

Así que Onaep contactó con la mejor empresa de construcción de la Galaxia por aquellos tiempos: la del afamado Terdlanbomitnbeo, cuyos cthulhucitos eran capaces de realizar los trabajos más refinados a escalas submicroscópicas, desafiando la geometría euclídea como si tal cosa. Terdlanbomitnbeo no era barato en absoluto, por supuesto, pero el Lémur decidió que el mejor material bien merecía la mejor empresa de construcción. Así que propuso el trabajo al Alienígena Matemático, y éste se puso a trabajar en el diseño de la baldosa de ytterrerrio.

Un par de semanas más tarde, Terdlanbomitnbeo mostró al secretario del Sátrapa su diseño de baldosa.

“Nholeghoveck es famoso por estar cubierto de nieve todo el año”, explicó Terdlanbomitnbeo al Lémur con voz áspera, “de modo que he pensado en hacer que la baldosa central de ytterrerrio tenga forma de copo de nieve.” El monstruo apenas cabía en el despacho de Onaep, y sus tentáculos rozaban las paredes, dejando rastros de babas.

El pequeño Lémur, que no llegaba al otro ni a la altura de la tercera ventosa del tentáculo más pequeño, asintió dubitativo. “Pero… tiene que ser algo especial, no puede ser cualquier copo de nieve ordinario… y no puede ser demasiado grande por el coste del ytterrerrio, que es prohibitivo…“

“No se preocupe”, continuó Terdlanbomitnbeo con lo que él pretendía que fuera una sonrisa tranquilizadora, ante la que el Lémur reculó un par de pasos, topando la espalda contra la pared del despacho. “Es un diseño revolucionario, sólo posible en la práctica gracias a mis cthulhucitos.”

La criatura mostró una pantalla a Onaep en la que se veía un triángulo equilátero. “Aquí puede ver la base del diseño, un simple triángulo equilátero de un metro de lado. Sí, sí… puede parecer poco impresionante, pero espere.” Varios de sus ojos se fijaron en la pantalla, mientras otros observaban al Lémur y un par de ellos miraban al teclado. Sus tentáculos pulsaron un par de teclas con un sonido húmedo.

“Sobre cada lado, ponemos otro pequeño triángulo equilátero de modo que la base del nuevo triángulo es un tercio del lado inicial. Cada uno de los lados de los nuevos triángulos soporta la base de un nuevo triángulo equilátero cuyo lado es un tercio del anterior, y así hasta el infinito. ¡Hasta el infinito! Será una estructura de infinito detalle, infinita delicadeza, infinito interés…“

”…¿infinito coste en ytterrerrio?”, preguntó el Lémur, cuyo terror a gastar demasiado dinero le dio fuerzas para interrumpir. “¿Esos infinitos triángulos no suponen que la baldosa tenga una gran superficie y, con ella, tengamos que desembolsar una enorme cantidad de dinero en ytterrerrio?”

Los primeros cuatro pasos de la baldosa (Wikipedia/CC 3.0 Attribution-Sharealike License).

“¡En absoluto!”, respondió el cefalópodo soltando babas por todas partes. “Ésa es la elegancia de nuestro diseño… observe los cálculos con cuidado”, y el Lémur asintió, ya que era un excelente contable y podía revisar cálculos para encontrar errores con gran facilidad. Nunca se le había escapado un error de cálculo, y prácticamente nunca olvidaba ningún detalle (prácticamente).

“El primer triángulo tiene un metro de lado, con lo que es trivial calcular su superficie… y no es importante ahora mismo, de modo que digamos que tiene una superficie S”, afirmó Terdlanbomitnbeo. Onaep asintió mientras calculaba en su cabecita cuánto ytterrerrio haría falta (por si tienes curiosidad y lo calculas, dado que el lado mide un metro, la superficie es $\frac{\sqrt{3}}{4}$ m²):

“Ahora debemos añadir un pequeño triángulo sobre cada uno de los tres lados, cuya base sea un tercio de la anterior:”

“De modo que la cantidad adicional de ytterrerrio que hace falta es la superficie de esos tres pequeños triángulos de lado 1/3 del anterior, es decir, dado que el grande tiene superficie S…“, y Terdlanbomitnbeo hizo una pausa maliciosa para dejar que Onaep, cuyos ojos brillaban con interés, realizase el cálculo y contestase él mismo.

¡Calcula, sub-criatura!

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“Ah, es sencillísimo”, respondió el secretario con cierta soberbia, ante la sonrisa malévola de Terdlanbomitnbeo. “En el triángulo grande caben nueve triángulos pequeños, con lo que la superficie de cada uno es un noveno de la del original, es decir, S/9. Y, dado que hay tres de ellos, la superficie adicional de ytterrerrio es S/3 metros cuadrados, sólo un tercio de la superficie del primer triángulo. El área total es S + S/3.”

“Efectivamente”, asintió Terdlanbomitnbeo complacido: ya tenía al secretario comiendo de su mano, y no pudo evitar empezar a salivar profusamente. “En el siguiente paso añadimos un triángulo de un tercio del tamaño de los anteriores sobre cada lado del borde, es decir, doce triangulitos de 1/9 m de lado. El área adicional es muy pequeña, sólo…“, y el Alienígena simplemente sonrió, esperando, mientras el dibujo de la estructura brillaba en la pantalla.

¡Calcula, sub-criatura!

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“Una vez más, el área de cada nuevo triángulo es un noveno de la del anterior”, razonó Onaep muy ufano. “Cada triangulito tiene una superficie S/81, la novena parte de la novena parte del triángulo original. Pero hay doce triangulitos, con lo que la superficie de todos ellos es 12S/81, es decir, 4S/27. La superficie total hasta ahora es S + S/3 + 4S/27 metros cuadrados”. El minúsculo ser estaba muy satisfecho de sí mismo.

“Dada su inteligenca, xuglu… quiero decir, señor secretario”, sonrió Terdlanbomitnbeo, “estoy seguro de que puede decirme qué sucede en el siguiente paso que realizarán mis cthulhucitos.” Sin poder evitarlo, el color de la piel del monstruo empezó ya a cambiar a un tono azul de anticipación del placer.

¡Calcula, sub-criatura!

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“Indudablemente”, contestó el Lémur de Magallanes. “Ahora añadirán un pequeño triangulito sobre cada lado del borde. Cada triangulito tendrá una superficie S/729, y hay 48 de ellos, 4 veces más que en el anterior paso. La superficie de todos juntos es 48S/729, es decir, 16S/243. Pero creo que veo dónde quiere llegar usted…“

La piel de su interlocutor cambiaba ya de color rítmicamente como la de una sepia en celo. Esto debería haber alertado a Onaep, pero su soberbia hizo que ni se diera cuenta de ello, y el Lémur continuó hablando como si tal cosa.

“A partir de ahora, cada vez habrá triangulitos con la novena parte de superficie que los anteriores, y habrá 4 veces más que en el paso anterior: si llamamos al triángulo original paso 0, en el paso 1 teníamos 3 con superficie S/9. En el paso 2 tuvimos 3·4 con superficie S/9². Luego tuvimos, en el paso 3, 3·4² con superficie S/9³… por lo tanto, en el paso n tendremos una superficie total…“

¡Calcula, sub-criatura!

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“En el paso n habrá 3·4^(n-1) triangulitos, cada uno de ellos con superficie S/9ⁿ, con lo que sumaremos a la superficie del paso anterior la superficie adicional S·3·4^(n-1)/9ⁿ. Ah, se trata de una serie convergente… ¡podemos calcular la superficie final tras infinitos pasos!”

“Efectivamente”, respondió Terdlanbomitnbeo. “Cuando lo haga, comprobará que se trata de un valor absolutamente aceptable, y una cantidad de ytterrerrio que el Sátrapa puede permitirse, incluso considerando su precio.”

¡Calcula, sub-criatura! En este caso, te hará falta realizar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica, con lo que tal vez me agradezcas este enlace si el colegio te queda lejos ya.

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“Bien, la superficie total es $S + \sum_{n=1}^\infty3S\cdot \frac{4^{(n-1)}}{9^n}$”, continuó Onaep.“Puedo sacar factor común 3S, con lo que tengo $S + 3S\sum_{n=1}^\infty\frac{4^{(n-1)}}{9^n}$”.

“¡Ah, pero $\sum_{n=1}^\infty\frac{4^{(n-1)}}{9^n}$ no es más que una suma infinita, la de una progresión geométrica. El primer término de la progresión geométrica es 1/9, y la razón es 4/9, de modo que esa suma no es más que el primer término dividido por uno menos la razón, es decir, $\frac{a_1}{1-r}$. En este caso, esa suma es $\frac{1/9}{1-4/9}$, es decir, 1/5.”

“¡Y eso significa que tengo la superficie total! Será $S + 3S\cdot\frac{1}{5}$, es decir, 8S/5.”

“Sus habilidades matemáticas son auténticamente admirables, señor secretario”, lo aduló Terdlanbomitnbeo, quien el día anterior había demostrado, para pasar el rato, que el conjunto de todos los hiper-hiperboloides homólogos a un hiper-toroide de quince dimensiones no tenían necesariamente por qué constituir un grupo ahneziano.

El Lémur sonrió complacido, ignorante del profundo desprecio que se escondía tras la mirada vidriosa de Terdlanbomitnbeo.

“Como usted decía, es una superficie asumible. El área del primer triángulo era $\frac{\sqrt{3}}{4}$ m², menos de un metro cuadrado, con lo que 8S/5 no es demasiado. Veamos, es… ah, unos 0,69 m². Nos costará unos 690 000 Ŧ, una fortuna, pero podemos asumirlo.”

“Tenga en cuenta el prestigio de tener una baldosa de complejidad infinita, utilizando menos de un metro cuadrado de ytterrerrio”, apuntó Terdlanbomitnbeo. “El número de turistas dispuestos a pagar un buen precio por ver el Gran Salón pronto compensará esta inversión.”

“El contrato es suyo”, le dijo el Lémur, muy satisfecho. “Puede poner a sus cthulhucitos a trabajar cuando desee, y pasarnos la factura cuando esté instalada la baldosa”.

“Muy bien”, respondió el baboso Alienígena Matemático, y empezó a arrastrarse hacia la salida, dejando tras de sí un reguero de babas nauseabundas y malolientes.

“Ah, por cierto”, añadió antes de salir. “¿Quiere que le pongamos algún borde a la baldosa, una línea dorada o algo así para resaltarla frente al resto del suelo?”

“No sé… ya nos hemos gastado una fortuna en la baldosa…“

“No se preocupe, podemos utilizar un material barato, como el oro. No hace falta emplear más ytterrerrio, y cada metro de hilo de oro cuesta una milésima de Ŧ.”, lo tranquilizó Terdlanbomitnbeo.

“Ah, en ese caso, ¡desde luego!”, contestó el otro, aliviado. El oro era, efectivamente, una sustancia baratísima debido a la transmutación industrial.

Onaep informó al Sátrapa de todo el trato al día siguiente, y el Sátrapa se mostró muy complacido: la baldosa sería, sin lugar a dudas, una atracción en todo el sector, y daría mucho que hablar. El soberbio gobernante ya veía hordas de gente haciendo cola ante su Palacio, deseosos de echar un vistazo a tan maravilloso suelo, con su nombre en los labios constantemente.

Una semana después, la baldosa estaba instalada, y Onaep recibió la factura de Terdlanbomitnbeo. Al verla en la pantalla, el pequeño Lémur abrió tanto los ojos que casi se le salen de las órbitas:

Al día siguiente, tras una llamada supratelefónica, Terdlanbomitnbeo acudió al despacho de Onaep desprendiendo un olor terrorífico a satisfacción sádica, con leves notas amónicas.

“¡Tiene que haber un error!”, exclamó el Lémur al verlo, su vocecilla estridente y temblorosa por el pánico. “¡En la factura!”, añadió innecesariamente ante la sonrisa llena de dientes del otro.

“No, mi estimado amigo”, respondió Terdlanbomitnbeo con una voz aterciopelada y viscosa, mientras fijaba casi todos sus ojos en el pequeño mamífero. “No hay ningún error”.

Pero, antes de seguir con el resto de la historia la semana que viene, tal vez puedas demostrar, si tu intelecto es superior al del secretario Onaep, que, efectivamente, no hay ningún error. De modo que…

¡Calcula, sub-criatura!