Tras un desafío puramente matemático, el de los cristales blindados de Bootes, hoy os presentamos uno físico puro y duro. Para resolverlo hacen falta física y matemáticas de nivel preuniversitario (para quienes viváis en España, de 2º de Bachillerato). En este desafío haremos algo que no hemos hecho antes: un breve resumen de conceptos necesarios para resolverlo, con sus enlaces correspondientes. Como siempre, en esta entrada están desactivados los comentarios, pero podeís decirnos qué os parece esta novedad en los comentarios de la solución, que se publicará la semana que viene.

La razón es la siguiente: aunque en las “reglas” se admite perfectamente consultar recursos como libros de texto, a veces uno no sabe ni por dónde empezar si ha estudiado estas cosas hace mucho tiempo. De manera que pretendemos dar el empujoncito inicial, al menos describiendo qué cosas debes saber y dónde encontrar más información sobre ellas fácilmente. De esta manera tal vez tu memoria tenga un punto de partida y puedas recuperar lo que sabías sobre esto.

En el desafío de hoy hace falta tener claros los siguientes conceptos:

• La ley de la Gravitación Universal de Newton.

• Trigonometría básica, como los conceptos de seno y coseno y su cálculo en un triángulo rectángulo.

• La definición de movimiento armónico simple: no hará falta hacer mucho con él, pero sí hace falta saber reconocer uno a partir de la fuerza neta que sufre el cuerpo.

Sí, como ves esta vez no hace falta sólo pensar: hace falta o bien recordar o bien aprender. Pero ése es justo el propósito en este caso – que te pelees con un problema físico que requiera adquirir conocimiento nuevo o, en su caso, recordar el que estudiaste en el colegio. Sin más, vamos con la descripción del desafío.

Péndulo estelar

La civilización de los Nevindivadianos de Aquila era una de las más avanzadas del Universo. Su control sobre el entorno era casi absoluto: podían modificar el clima de sus planetas a voluntad, obtener una cantidad de energía casi inagotable de manera limpia, manipular materia a nivel nanométrico e incluso controlar los movimientos orbitales de sus sistemas estelares.

Tal era la maestría y el conocimiento de los Nevindivadianos que, en ocasiones, creaban obras de ingeniería galáctica sin un propósito práctico, sino como una forma de arte. Hordas de turistas visitaban cada año, por ejemplo, el planeta Kuririkuri, rodeado por una docena de estrellas de distintos colores que orbitaban a su alrededor, de modo que sobre Kuririkuri nunca era de noche sino que días de distintos tonos se alternaban cada poco tiempo. Los Nevindivadianos no sólo habían llevado cada estrella hasta ponerla en órbita alrededor del planeta, sino que habían introducido en el núcleo de Kuririkuri una sustancia de tal densidad que las estrellas giraban en torno al planeta y no al revés… además de otra sustancia en la superficie que evitaba que ese campo gravitatorio aplastara a los turistas, pero no quiero alargarme. El caso es que los Nevindivadianos, así llamados por su ancestral profeta, tenían una ciencia y una tecnología extraordinariamente avanzadas.

En cierta ocasión, uno de sus regentes electos decidió hacer otra obra de arte cósmica: un péndulo estelar. La idea era crear un sistema de tres estrellas de modo que una de ellas realizase un movimiento oscilante debido a la gravedad de las otras dos. Para ello, los Nevindivadianos emplearían una de sus técnicas casi mágicas: la capacidad de mantener un objeto fijo en el espacio respecto a otro.

El proyecto del regente consistía en dejar dos enormes estrellas fijas a una gran distancia una de otra, y luego poner una estrella más pequeña entre las dos. Si la pequeña estrella se dejase libre justo entre las dos estrellas grandes estaría en equilibrio, pero si a continuación se alejase ligeramente de ese punto de equilibrio como se muestra en la figura, la pequeña estrella empezaría a oscilar:

Cada estrella grande debe tener una masa M, y la pequeña una masa m. El punto de equilibrio distaría una gran distancia D de cada estrella grande, y la pequeña se separaría una distancia d antes de dejarla libre para oscilar.

Naturalmente tú, avezado lector, eres el ingeniero galáctico encargado de poner en funcionamiento este gigantesco péndulo estelar, y aquí tienes la primera parte del desafío:

• Demuestra que, si d « D, la estrella pequeña realiza un movimiento armónico simple. Tendrás que despreciar algún término en algún momento para poder demostrarlo, y dejo a tu criterio cuándo y cómo hacerlo.

Si consigues demostrarlo puedes escribir un correo a desafios@eltamiz.com y te revelaré la segunda parte del desafío: estos regentes nunca están contentos y les gusta la sofisticación.

Como siempre, enviar las respuestas pronto no significa nada: lo importante es que estén bien, sean didácticas para quienes no han podido resolver el desafío (especialmente en el caso de hoy, ya que algunos lectores aprenderán sobre estas cosas con vuestras soluciones), sean amenas y bien documentadas con figuras si es necesario, etc.

Sin embargo, esta vez recomiendo no enviar la primera parte de la solución demasiado cerca del límite de tiempo, ya que no tendrías mucho margen para resolver el resto cuando te lo envíe. El límite de envío de soluciones es el domingo 9 de diciembre inclusive, es decir, a finales del próximo fin de semana.

Que ustedes lo pasen bien pensando con lápiz y papel y, antes de eso, recordando/aprendiendo. Esas células grises lo necesitan…

Actualización: Este desafío ya está cerrado y puedes leer la solución aquí.