Dado que hace bastantes meses desde el último artículo de Alienígenas matemáticos, es posible que algunos nuevos lectores no conozcáis esta absurda serie. Para que os hagáis una idea, ese último artículo se llamaba Los conejitos zweldreordanos, tenía dos partes larguísimas y ponía en grave riesgo la cordura de cualquier insensato que lo leyera. De hecho, fue el último artículo que muchos leyeron, y no me refiero al último aquí, sino a lo último que leyeron. Punto.

De modo que mi recomendación –y dice mucho sobre mi honestidad que te avise aquí, al principio– es muy clara: no leas este artículo. Como todos los de esta serie es pedante, rebuscado, verborreico e inane, además de hacer uso de un humor negro, desagradable, tentaculado y baboso. Ver Sálvame Deluxe ((No. No preguntes lo que es si no lo sabes. Es mejor así.)) es más provechoso para tu psique que seguir leyendo. Para que ni siquiera tengas que ver el texto que viene a continuación, aquí tienes un retrato de Nyarlathotep.

Visión artística de Nyarlathotep, de Dominique Signoret (CC Attribution-Sharealike 3.0 License).

Imagino que ya estamos solos (sí, ya sabía que tú te quedarías, lo cual dice mucho de mí y poco de ti). El caso es que vas a leer algo parecido a los artículos de esta serie dedicados al principio antrópico: ¿Por qué el otro carril siempre va más rápido?, ¿No es mucha casualidad que haya vida en el Universo? y ¿Cuántos corredores hay en la carrera? Como entonces, y a diferencia de otros artículos de esta misma serie, no pretendo enseñar nada concreto. Se trata simplemente de una paradoja probabilística que me ha hecho disfrutar bastante cuando la leí, de modo que quiero compartirla con vosotros… como siempre, por supuesto, a través del prisma baboso de los alienígenas matemáticos.

Deja que te plantee la siguiente situación hipotética. Insisto, es hipotética: no estoy sugiriendo aquí que tenga, por razones que no puedo divulgar, una certeza absoluta sobre una conquista inevitable del planeta Tierra por una especie de alienígenas casi todopoderosos y que nos consideren a ti y a mí como menos que ratones de laboratorio. No, esto no es más que una invención, y puedes seguir con tu patética vida de manera normal sin el menor temor por el hecho de que va a terminarse muy, muy pronto. Hipotéticamente, claro.

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Dicho esto imagina, querido lector, que la Tierra ha sido conquistada por los terroríficos Alienígenas matemáticos, y que has sido capturado por ellos y drogado hasta quedar inconsciente. Cuando despiertas, ¡sorpresa!, estás en una celda metálica inundada por un ligero olor a amoníaco.

Junto a ti se yergue uno de los monstruosos Alienígenas matemáticos, y sus múltiples ojos pulsantes y vidriosos están fijos en ti. Su leve sonrisa sardónica revela hilera tras hilera de puntiagudos dientes amarillentos, a la vez que gotas de baba maloliente y corrosiva sisean al caer sobre el suelo.

“Ah, por fin despiertas, xuglurz ((Si a estas alturas no entiendes esta palabra es que eres, realmente, un auténtico xuglurz. Empieza la serie desde el principio.))… justo a tiempo”, te dice el monstruo con voz húmeda. “Es tu turno para jugar”.

“¿Para jugar?”, preguntas, aún aturdido por las drogas. “¿Jugar a qué?”

La pregunta hace que la sonrisa de la criatura se haga más amplia, dando a su cara un aire casi de felicidad obscena.

“Al juego antrópico”, responde. “Voy a explicarte las reglas, sub-criatura”. Sus ojos parpadean con entusiasmo y sus tentáculos se agitan con delectación: es evidente que todo esto ha sido ensayado antes, o realizado con otros seres humanos antes que tú. Sabes lo suficiente sobre estas criaturas para estar seguro de que, cuando explican cosas a un humano, nunca mienten: hacerlo sería humillante para ellos. Así que puedes estar seguro de que todo lo que te dice es cierto.

“El juego tiene un maestro de ceremonias, que es el Ínclito Mortsobkcin”, continúa. “Y se juega en una serie de turnos. En el primer turno hay un jugador, que es, por supuesto, humano. El jugador entra en la sala de juegos, en la que está el maestro de ceremonias con una bolsa. La bolsa contiene mil bolas. Además, el maestro de ceremonias tiene un pequeño DPT”.

“¿DPT?”, preguntas, confuso, provocando una pequeña risita gorgoteante.

“Dispositivo Portátil de Terminación”, responde, y su piel cambia de color a un tono de placer al ver cómo palideces. “Sí, es un juego en el que perder es… definitivo”.

“¿Y qué debe hacer el humano para no perder?”, dices.

“No hay nada que hacer… no es un juego de habilidad”, contesta el monstruo. “Cuando el humano entra en la habitación, el maestro de ceremonias saca una bola de la bolsa. De las mil bolas que hay, 999 son blancas, y una bola es negra. Si la bola extraída es blanca, el humano puede salir de la habitación y es libre: puede volver a casa y nunca más será molestado por nosotros”.

“Y si sale la bola negra…“, dices, aunque naturalmente sabes la respuesta.

“Si sale la bola negra, algo que sólo sucederá con un 0,1% de probabilidad, el humano… pierde el juego”, responde el monstruo. “Si el humano pierde, el juego se ha terminado. Pero si el humano gana, entonces empieza el segundo turno, una vez que el maestro de ceremonias ha devuelto la bola que sacó a la bolsa, de modo que tenga otra vez mil. En el segundo turno, una vez que el humano ha abandonado la habitación, entran en ella nueve humanos”.

“El Ínclito Mortsobkcin saca entonces una vez más una bola de la bolsa, que será blanca –con mucha probabilidad– o negra –con muy poca probabilidad–. Si la bola es blanca, los nueve humanos ganan y son libres de marcharse… pero si la bola es negra, los nueve humanos pierden, de modo que el maestro de ceremonias utiliza el DPT y el juego termina en el segundo turno.”

“E imagino”, interrumpes con cierta insolencia, “que si sale una bola blanca el juego no termina, sino que empieza el tercer turno”.

“Efectivamente”, responde la criatura sepiácea.

“¿Quiere eso decir que el juego no termina hasta que los humanos pierden?”, preguntas, aunque una vez más la respuesta es obvia (nunca está de más reforzar los estereotipos sobre los humanos).

“¡Desde luego!”, exclama el enorme ser, casi saboreando tu estupidez. “Al Ínclito Morstobkcin le encanta utilizar el DTP… si no terminase usándolo tarde o temprano, su furia sería enorme. Siempre habrá un turno en el que, antes o después, saque la bola negra y los humanos pierdan. Pero recuerda, xuglurz: no todos los humanos que juegan pierden. Los que participaron en turnos anteriores y ganaron porque salió la bola blanca han salido libres. Sólo el último turno pierde el juego… pero siempre hay, tarde o temprano, un último turno, de modo que el maestro de ceremonias siempre acaba usando el DTP”.

El silencio invade la pequeña celda, sólo interrumpido por el goteo y siseo regular de las babas del monstruo sobre el suelo y por los múltiples gorgoteos, silbidos y ruidos más siniestros aún que emite la respiración de la criatura –o tal vez su digestión, o algún otro proceso biológico desagradable y ajeno a la compresión humana–. Finalmente, el monstruo habla de nuevo.

“Seguro que tú, pequeño xuglurz, que pareces más inteligente que la media, puedes decirme cuántos humanos participan en el tercer turno, tras 1 en el primero y 9 en el segundo….”, te dice casi con dulzura.

“90”, respondes, y sus tentáculos sufren un leve temblor de éxtasis, “vuestro absurdo sentido de la elegancia matemática lo hace evidente. El número total de humanos que ha participado en el juego es así, en cada turno, diez veces más que en el anterior turno. 1 humano, luego 1+9 = 10 humanos, luego 1+9+90 = 100 humanos. En el cuarto turno, si es que lo hay, participarán 900 humanos, para que el total sea 1+9+90+900 = 1000 humanos.”

“Sí, sí…“, afirma el ser mientras algunos de sus ojos se abren y otros se cierran con excitación. “¿No es elegante? Eres perceptivo para ser un primate. Bien, ¿estás listo para jugar? ¡Es tu turno! No deberías estar demasiado preocupado… al fin y al cabo, es casi seguro que sobrevivirás.”

Al pensarlo un momento, te das cuenta de que tiene razón: cuando salgas a la habitación, independientemente del turno en el que te haya tocado jugar –eso lo sabrás únicamente cuando llegues allí y veas cuántos humanos hay contigo–, el Ínclito Morstobkcin sacará una bola. Es prácticamente seguro que la bola será blanca y podrás irte a casa, con un 99,9% de probabilidad. Sólo hay un 0,1% (una bola negra entre mil) de que seas víctima del DTP, lo que quiera que haga.

“Ah, por cierto…“, continúa el Alienígena matemático. “Ahora mismo voy a llamar a tu madre, xuglurz… tenemos su teléfono, por supuesto. Voy a contarle las reglas del juego, y a decirle que eres uno de los participantes. Hacemos exactamente lo mismo con todas las madres: es muy divertido. Puedes ir saliendo a la habitación mientras hablo con ella.”

Y una puerta deslizante se abre en una pared, revelando una habitación: la sala del juego. Mientras sales por la puerta, oyes tras de ti la voz gorgoteante del monstruo explicando a tu madre lo mismo que te ha explicado a ti. ¡Tu pobre madre, consciente de que es posible que no sobrevivas al juego! Tu pobre madre, que es tan inteligente como tú y es capaz de llegar a las mismas conclusiones que tú…

Sin embargo, tu madre no debería estar demasiado preocupada… al fin y al cabo sólo hay un 0,1% de probabilidad de que no sobrevivas. No, tu madre se preocupará, pero no excesivamente.

Pero, poco a poco, otra idea empieza a rondarte la cabeza. Imaginemos que el juego se terminase en el turno 4 porque ahí sea donde sale la bola negra. Habrían participado 1 humano (vivo), 9 humanos (vivos), 90 humanos (vivos) y 900 humanos (muertos). Los Alienígenas habrían llamado, por tanto, a 1000 madres humanas. Tal vez esas madres, razonando como has hecho tú, habrían llegado a la conclusión de que no deberían preocuparse demasiado.

Y de esas 1000 madres, 900 habrían perdido a sus hijos. El 90% de ellas… luego, si como madre recibes la llamada de teléfono, ¡sí que deberías preocuparte, porque el 90% de quienes reciben esa llamada perderán a su hijo!

Todo está producido, naturalmente, por el hecho de que en cada turno participan diez veces más humanos que en el anterior… pero la probabilidad de que salga la bola negra en cada uno es tan sólo del 0,1%, luego ¡no debería haber por qué preocuparse!

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Se trata, como puedes ver, de una paradoja probabilística (recuerda que una paradoja no tiene por qué ser falsa, existen paradojas verídicas que simplemente rechinan al principio). Por una parte resulta evidente una cosa, y por otra resulta evidente la contraria. ¿Debería estar preocupada tu madre? ¿Deberías estarlo tú?

Por lo que parece, la primera versión de esta paradoja se publicó en 1999 en Synthese, An International Journal for Epistemology, Methodology and Philosophy of Science, en un artículo titulado “The Shooting Room Paradox and Conditionalizing on Measurably Challenged Sets”. Naturalmente, la versión de los autores del artículo era mucho menos pedante, más concisa y más cuerda que la que acabas de leer. Puedes leer una versión abreviada también aquí, que es donde yo conocí la paradoja.

No es, por cierto, una tontería, aunque es posible que al principio te lo parezca: la cosa es bastante sutil. Si el 90% de las madres que reciben la llamada pierden a sus hijos y tu madre, por tanto, se preocupa, mientras que al mismo tiempo tú, que sabes que al salir a la habitación tienes un 99,9% de probabilidad de salir con vida, no te preocupas, es que tu madre y tú sacáis conclusiones muy distintas de la situación, ergo no tenéis la misma información. Pero ¿qué información tiene uno que no tenga el otro entonces?

Se trata, además, de algo relacionado con el principio antrópico y, especialmente, con la paradoja del día del juicio final que han aparecido aquí antes. Estoy convencido de que vuestros comentarios serán mucho más interesantes que el propio artículo, y el objetivo era exactamente ése: hacer pensar, azuzar una discusión inteligente y cuestionar ideas previas sobre las interpretaciones frecuentista y bayesiana de la probabilidad.

De manera que lo dejo en vuestras manos, ya que esto no es un desafío y no hay una segunda parte con la “respuesta” –ni siquiera sé si la hay–… las únicas respuestas que encontraréis aquí serán las vuestras.

¿Qué sabe tu madre que no sabes tú, o viceversa? ¿Qué información adicional falta en uno u otro caso? ¿Cómo explicas la divergencia de probabilidades, 90% o 0,1%?

Pero, antes de dejaros abierto el foro de discusión, ¡casi me olvido de terminar la historia!

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Tan abstraído estás en tus pensamientos sobre la probabilidad que predice tu madre y la que predices tú que ni siquiera te fijas en cuántos humanos salen contigo a la habitación por otras puertas.

No ves tampoco al Ínclito Morstobkcin presidiendo el evento, su piel mucosa recorrida por oleadas de colores arcoirisados, sus glándulas emitiendo un olor almizclado y alcalino.

No ves su tentáculo –tembloroso por el placer mórbido– introducirse en la bolsa de bolas.

Sí ves, al salir por fin de tu trance intelectual, el tentáculo emergiendo de la bolsa con una bola agarrada: una bola negra.

Ves al Ínclito Morstobkcin sacudirse gelatinosamente al ver la bola negra, y alargar otro tentáculo tembloroso hasta el DTP.

Y ya no ves nada más.