Hemos empezado este bloque de refresco de conceptos matemáticos elementales hablando sobre algo fundamental: las variables y expresiones algebraicas. Hoy utilizaremos lo que repasamos entonces para establecer un concepto que se utiliza tanto en Física que es una auténtica obsesión: las ecuaciones. Será un artículo largo, porque entender el concepto es fundamental.

En la Física que se estudia hasta entrar en la Universidad me arriesgaría a decir que es el obstáculo principal con el que se encuentra uno: superarlo suele significar no tener ningún problema en resolver casi todo lo que se te ponga por delante. Por otro lado, claro está, no comprender el concepto y las formas de resolver ecuaciones significa ser incapaz de llegar al final de muchas preguntas de Física, que terminan convirtiéndose en ecuaciones simples o grupos de ecuaciones. Digo esto para convencerte de que esto es crucial, y deberías ir despacio pero sin dejar dudas en el tintero.

Un aviso, por cierto: en este bloque estoy usando LaTeX a diestro y siniestro para mostrar ecuaciones, y en muchos sitios que no son la página web (feeds RSS, e-mail, etc.) no se ven bien los símbolos. Lo siento, pero si te sucede eso lo mejor es que leas estos artículos directamente en la página. Para quienes no ven el enlace al artículo intentaré incluirlo en el texto, por si llegas a él y no sabes cómo verlo en la página. El enlace a este artículo en la web: https://eltamiz.com/2013/12/05/matematicas-i-ecuaciones/.

Antes de hincar el diente a las ecuaciones, sin embargo, debemos asegurarnos de que entendiste completamente el artículo anterior, de modo que parémonos un momento para corregir el segundo desafío de la entrada anterior –el primero era una práctica de aritmética que se corregía sola–.

Concepto de ecuación

Si comprendiste el concepto de expresión algebraica esto no debería tener el menor misterio:

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se cumple para algunos valores de las variables.

Cada una de las dos expresiones igualadas se denomina miembro de la ecuación, y una ecuación siempre tiene, por lo tanto, dos miembros. Un par de ejemplos de ecuaciones son $g^2 - w + y = 3z$, o bien $x + 1 = 4$.

Se trata, aunque sea un concepto simple, de una de las más poderosas herramientas de las Matemáticas: de ahí su belleza. Sé también que pueden intimidar bastante, pero no tengas miedo que iremos poco a poco para que te empapes de lo que significan.

Hay dos claves para comprender el concepto de ecuación algebraica. En primer lugar entender que, a diferencia de una expresión –que puede evaluarse o no y punto–, una ecuación es una afirmación del equilibrio entre dos cosas. El equilibrio, al-ŷabr, es el núcleo que nunca debes olvidar al mirar una ecuación. Ambas expresiones deben tener exactamente el mismo valor.

Y ésa es la segunda clave de las ecuaciones: una expresión siempre puede evaluarse, aunque a veces el resultado sea raro. Por ejemplo, la expresión $x + 1$ valdrá lo que valga (si $x = 2$ entonces la expresión valdrá 3). Pero una ecuación, en principio, no es cierta siempre sino sólo para determinados valores de sus variables.

Si combinas ambos conceptos (equilibrio entre expresiones y validez sólo para ciertos valores de las variables) puedes pensar en una ecuación como una pregunta: ¿para qué valores de las variables se cumple esta afirmación? Como suele suceder, un ejemplo debería dejarlo claro y meridiano, de modo que pensemos juntos en uno.

Aquí tienes la primera ecuación que vamos a resolver juntos, en todo su esplendor:

$$x + 1 = 4$$

Imagínala como un balancín: a la izquierda $x + 1$ y a la derecha $4$. El valor de ambos lados –más técnicamente, miembros– de la ecuación debe ser el mismo. Pero incluso yo me doy cuenta de que esta afirmación no es siempre verdadera: si $x = 100$ la expresión de la izquierda toma el valor $101$, y la de la derecha $4$. ¡Mentira, porque $100 \ne 4$! El balancín está desequilibrado hacia la izquierda.

También puede ayudarte, como decía antes, pensar en ella como una pregunta: ¿para qué valores de $x$ se cumple que $x+1=4$? La respuesta es que se cumple únicamente para un valor: $x = 3$. Así, a la izquierda el valor de la expresión es $3+1 = 4$ y a la derecha es también $4$. Las variables cuyo valor hace que se cumpla o no la ecuación se denominan incógnitas, y el valor de las incógnitas que hace que se cumpla la ecuación suele denominarse la solución de la ecuación.

Soluciones de una ecuación

La ecuación de antes sólo tenía una variable y una solución, pero no siempre tiene por qué ser así. Por ejemplo, aunque se trate de una ecuación muy tonta, esta otra tiene múltiples soluciones (mírala un par de minutos e intenta encontrar los valores de $t$ para los que el balancín está equilibrado):

$$2t = \frac{100t}{50}$$

No sólo eso, sino que es cierta para cualquier valor de t. Es como un balancín que siempre está equilibrado. Una ecuación que se cumple absolutamente siempre, para cualquier valor de sus variables, recibe el nombre de identidad.

Pero es posible imaginar una ecuación con muchas soluciones que no es una identidad, por ejemplo:

$$a = b + 1$$

Imagino que ves a dónde quiero llegar. Esta ecuación se cumple para $a = 1$ y $b = 0$, ya que entonces el miembro de la izquierda vale $1$ y el de la derecha $0+1$, es decir, lo mismo. Pero también es cierta para $a = 100$ y $b = 99$, o para $a = 43,75$ y $b = 42,75$. De hecho hay infinitos valores de $a$ y $b$ que cumplen la ecuación (todos aquellos en los que $b$ sea uno menos que $a$), pero no es una identidad, porque no es cierta para cualquier valor de $a$ y $b$.

Cuando avancemos un poco más en el bloque hablaremos sobre cómo atacar problemas como éste, en el que hay infinitas soluciones pero no todos los pares de números lo son, mirando la ecuación de otra manera y utilizando la geometría. Por ahora me basta con que comprendas que hay ecuaciones con múltiples –incluso infinitas– soluciones.

También es perfectamente posible que la ecuación no tenga absolutamente ninguna solución. Aquí tienes esta idiotez:

$$z = z + 1$$

No hay ningún número para el que pueda cumplirse jamás, de modo que es una ecuación irresoluble (aunque si eres programador seguramente estés sonriendo al verla). Ya sé que la ecuación es muy tonta, pero una vez más quiero dejar bien claro que una ecuación puede tener una solución, muchas o ninguna. Sé que en el colegio normalmente te mandaban resolver ecuaciones con una solución, pero cuando ataquemos problemas físicos verás que podemos encontrarnos con casi cualquier cosa.

Ecuaciones equivalentes

Esto seguramente sea lo más importante que vas a aprender hoy. De igual manera que una ecuación puede tener muchas soluciones, muchas ecuaciones diferentes pueden tener las mismas soluciones. Todas las ecuaciones con las mismas soluciones se denominan ecuaciones equivalentes.

Por ejemplo, las ecuaciones $k - 12 = 0$ y $k - 8 = 4$ son ecuaciones equivalentes, porque ambas comparten soluciones (en este caso solución, porque sólo hay una): $k = 12$. Ya sé que esto puede parecer una solemne estupidez pero, como digo, es importantísimo.

La clave es que matemáticamente hablando, por definición, todas las ecuaciones equivalentes son exactamente igual de válidas (no son más que maneras diferentes de expresar la misma verdad), pero para nosotros no son lo mismo porque unas pueden ser mucho más sencillas que otras.

De hecho, si te fijas en las dos ecuaciones equivalentes del ejemplo anterior, ambas son a su vez equivalentes con $k = 12$, que es la expresión de la solución. Podrías decir, si fueras un pedante sin la menor vergüenza, que resolver una ecuación es escribir la ecuación equivalente más simple posible.

¿Cómo conseguirlo? Haciendo lo que nos dé la real gana, pero manteniendo siempre el núcleo de toda ecuación: al-ŷabr. Si piensas en la ecuación como una balanza en equilibrio, la única manera de que siga estándolo al modificarla es haciéndolo igual en ambos lados de la balanza. Dicho en términos más técnicos, sólo podemos realizar cambios en la ecuación que hagan una de dos cosas:

La primera y más sencilla es hacer algo que no modifique el valor de ninguna de las dos expresiones. En términos de balanza, algo que no varíe la masa de ninguno de los dos lados de la balanza. Así, si al principio había cinco kilos en cada lado y luego sigue habiendo cinco kilos en cada lado, sigue manteniéndose la relación de igualdad entre ambos términos ¡porque ninguno ha cambiado de masa, quiero decir, de valor!

Por ejemplo, podemos convertir $x + 1 = 3+ 4$ en $x + 1 = 7$, ya que el valor de $3+4$ es el mismo que el de $7$. Insisto: ambas son equivalentes pero la segunda es superior en el sentido de que es más simple y ése es nuestro objetivo.

La segunda es un poco más complicada pero suele ser más útil. Podemos modificar el valor de ambas expresiones en la misma medida. En términos de balanza, podemos modificar la masa de ambos lados de la balanza pero de igual modo. Así, si la masa es de cinco kilos a cada lado y añadimos diez kilos a cada uno se sigue manteniendo la igualdad: ahora hay quince kilos a cada lado. Si luego duplicamos la masa a ambos lados sigue manteniéndose la igualdad: ahora hay treinta kilos a cada lado.

Por ejemplo, podemos convertir $a + 300 = b + 100$ en $a + 200 = b$ simplemente restando 100 a ambos miembros de la ecuación (como si quitásemos 100 kg a cada lado de la balanza). Las ecuaciones son equivalentes, pero una vez más la segunda es más simple que la primera y, para nosotros ahora mismo, superior por esa misma razón.

Técnicas comunes

Empecemos a atacar ecuaciones concretas con técnicas muy útiles. Por ahora vamos a trabajar con ecuaciones bastante simples: de una sola variable y sin operaciones matemáticas demasiado enrevesadas. En las primeras, de hecho, seguramente puedas ver a ojillo de buen cubero el valor de la solución, pero paciencia que todo llegará, y las ecuaciones complicadas también.

De hecho es relativamente común meter la pata en ecuaciones simples si intentas hacerlo más deprisa de lo que tu capacidad te permite –muchos tendemos a sobrevalorar nuestra habilidad–. Por eso es mejor ir más despacio de lo necesario que más deprisa.

Imagina que nos topamos con esto:

$$j - 200 = 300$$

Te recuerdo nuestro objetivo: encontrar la forma más simple posible de la ecuación, es decir, la solución. Podemos hacerlo modificando ambos miembros de modo que si cambian sus valores lo hagan del mismo modo, por ejemplo, sumando o restando la misma cantidad en ambos miembros. En este caso podemos sumar 200 en ambos miembros:

$$j - 200 + 200 = 300 + 200$$

Es decir, $j = 500$, que es la solución de la ecuación. Para asegurarnos de que no hemos metido la pata es conveniente volver a la forma original de la ecuación y comprobar que, efectivamente, hemos encontrado la solución. ¿Por qué? Porque hemos intentado encontrar una ecuación equivalente a la primera, y lo habremos hecho siempre que no hayamos modificado alguno de los dos miembros de un modo diferente al otro. ¿Tú te fías de ti mismo? Yo no, de modo que sustituyamos $j = 500$ en la ecuación original:

$$500 - 200 = 300$$

De modo que lo hemos hecho bien. Esta técnica de sumar o restar una misma cantidad en ambos miembros es una de las dos más frecuentes que se pueden emplear.

La otra es muy similar, y consiste en multiplicar o dividir ambos miembros por la misma cantidad. Resolvamos juntos esta ecuación:

$$\frac{h + 20}{4} = 20$$

Podemos hacerlo en pocos pasos. En primer lugar multipliquemos ambos miembros por 4:

$$4\frac{h+20}{4} = 4\cdot 20$$

Es decir,

$$h+20 = 80$$

Pero ahora no tenemos más que aplicar la primera técnica que hemos visto, restar 20 en ambos miembros, para obtener la solución,

$$h + 20 - 20 = 80 - 20$$ $$h = 60$$

Y, una vez más, no estaría mal volver a la ecuación original y sustituir el valor que pensamos que la resuelve:

$$\frac{60+20}{4} = 20$$

Operando vemos que, efectivamente, ambas expresiones tienen el mismo valor: hemos conseguido equilibrar la balanza y al-Juarismi estaría orgulloso de nosotros.

Técnicas que introducen o eliminan soluciones

Como digo, cualquier operación que produzca una ecuación equivalente a la original vale. El problema aparece cuando lo que hagamos, aunque sea lo mismo en ambos miembros, no mantenga la equivalencia porque elimine algunas soluciones o haga aparecer alguna nueva. Sé que esto puede parecer raro, de modo que veamos un ejemplo de cada caso.

En la siguiente ecuación podemos hacer todo más sencillo si dividimos ambos miembros por $u$:

$$u^2 + u = u^3 + u^4$$ $$u + 1 = u^2 + u^3$$

Sin embargo, la nueva ecuación ya no es equivalente a la primera. El problema está en que en la ecuación original $u = 0$ era una solución (aunque hubiese más), pero en la nueva ecuación $u = 0$ ya no es una solución. Hemos modificado el conjunto de soluciones y eso es anatema. Es algo que sucede a menudo cuando la cantidad por la que dividimos es una variable, pero no es mala cosa pensar en esta posibilidad siempre.

Ahora bien, no hay problema en hacer lo que acabamos de hacer para simplificar la ecuación siempre que seamos conscientes de ello: que cuando resolvamos la ecuación simple y obtengamos todas sus soluciones no olvidemos que a ellas debe añadirse la solución “desaparecida”, $u = 0$.

Lo contrario, añadir soluciones, puede suceder en casos como el siguiente. Imagina que, para obtener una ecuación más simple, hacemos una operación compleja como, por ejemplo, hacer la raíz cuadrada de cada miembro, algo de lo que no hemos hablado aquí porque no nos hará falta por ahora:

$$(z - 2)^2 = 4$$ $$z - 2 = 2$$

Resolver la ecuación es muy fácil ahora, ya que la solución es $z = 4$. Pero al hacer la raíz cuadrada tan alegremente nos hemos cargado una solución, porque hemos sustituido $\sqrt{4} = 2$ pero lo mismo podríamos haber hecho $\sqrt{4} = -2$. Una vez más, no hay problema si recordamos que no tenemos una sola ecuación equivalente, sino dos que debemos resolver:

$$z - 2 = 2$$ $$z - 2 = -2$$

En otras palabras, no hemos obtenido una ecuación equivalente a la original, sino un conjunto de dos ecuaciones cuyas soluciones conjuntas son las mismas de la original, algo así como un conjunto equivalente de ecuaciones. Aunque detalles como éste sean sutiles y puedan asustarte, no te preocupes: en la siguiente entrada veremos cómo es muy fácil que no se te escape ninguno en ecuaciones de una sola variable.

Ideas clave

Aunque este capítulo tenga muy pocos conceptos (siendo largo, que lo es), son cosas absolutamente fundamentales para poder seguir con garantías los siguientes artículos, así que ojo avizor:

• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se denominan miembros.

• Las soluciones de una ecuación son los valores de sus variables que hacen que se cumpla la igualdad.

• Una ecuación que siempre se cumple es una identidad, y una que no se cumple jamás es una ecuación irresoluble.

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

• Las técnicas más comunes para resolver ecuaciones sencillas son sumar/restar la misma cantidad a ambos miembros o multiplicar/dividir por la misma cantidad ambos miembros.

• Otras técnicas, como dividir ambos miembros por una variable o hacer raíces o potencias, pueden introducir o eliminar soluciones.

Antes de seguir…

Imagino que te lo esperas: voy a forrarte a ecuaciones. En el siguiente capítulo haré lo mismo con otras aún más difíciles, pero no viene mal empezar a practicar ya.