En los primeros dos capítulos de este bloque matemático introductorio tras la presentación hemos hablado sobre variables y expresiones algebraicas y el concepto de ecuación. Hoy ahondaremos en el estudio práctico de las ecuaciones polinómicas y, cuando terminemos, espero que seas capaz de atacar muchas ecuaciones de una incógnita que se te pongan por delante.

Por si acaso lees esto en algún lugar en el que los símbolos LaTeX no se ven bien (si ves símbolos del dólar alrededor de esta $x$, es el caso) y el título no te lleva al artículo en la web, aquí tienes el enlace: https://eltamiz.com/2013/12/26/matematicas-i-ecuaciones-polinomicas/.

Pero antes, como siempre, veamos las soluciones al desafío del final del capítulo anterior.

Solución al desafío 3 - Ecuaciones simples

El desafío nos pedía encontrar las soluciones a varias ecuaciones que no requerían otra cosa que operaciones algebraicas sencillas. Iré poco a poco en cada una para que, si has metido la zarpa, veas dónde y te acostumbres al modo de pensar necesario para llegar al final:

La primera ecuación:

$$-p - 2 = p + 8$$

Sumamos $p$ en ambos miembros:

$$ -p -2 + p = p + 8 + p$$ $$ -2 = 2p + 8$$

Restamos 8 en ambos miembros:

$$ - 2 - 8 = 2p + 8 - 8$$ $$-10 = 2p$$

Finalmente, dividimos ambos miembros entre 2:

$$\frac{-10}{2} = \frac{2p}{2}$$ $$-5 = p$$

Luego la solución era $p = -5$. Para comprobarlo podemos volver a la ecuación original (hazlo y verás que se cumple).

La segunda ecuación:

$$2h - 1 = \frac{h + 1}{2}$$

Multiplicamos por 2 en ambos miembros:

$$2 \cdot (2h-1) = 2\frac{h+1}{2}$$ $$4h - 2 = h+1$$

Restamos $h$ en ambos miembros:

$$4h-2-h = h+1-h$$ $$3h - 2 = 1$$

Sumamos 2 en ambos miembros:

$$3h -2 + 2 = 1+2$$ $$3h = 3$$

Dividimos entre 3 en ambos miembros:

$$\frac{3h}{3} = \frac{3}{3}$$ $$h = 1$$

Luego la solución era $h = 1$, y puedes volver a la ecuación original y sustituir $h = 1$ para ver que se cumple.

La tercera ecuación:

$$y^2 = \frac{y}{4}$$ Dividimos entre $y$ en ambos miembros: $$\frac{y^2}{y} = \frac{y}{4y}$$ $$y = \frac{1}{4}$$

Luego la solución es $y = \frac{1}{4}$… pero hemos eliminado una solución válida al dividir entre la propia variable $y$, la solución $y = 0$. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones, $y = 0$ y también $y = \frac{1}{4}$, que puedes sustituir para comprobar que se cumple la original.

La cuarta ecuación:

$$6(w-2) = 13w-(w+12)$$

En primer lugar operamos en ambos miembros:

$$6w - 12 = 13w - w - 12$$ $$6w-12 = 12w-12$$

Sumando 12 en ambos miembros,

$$6w - 12 + 12 = 12w - 12+12$$ $$6w = 12w$$

Dividimos ambos miembros entre $w$:

$$\frac{6w}{w} = \frac{12w}{w}$$ $$6 = 12$$

¡Imposible! ¿Quiere esto decir que la ecuación no tiene soluciones? No, porque al dividir entre $w$ hemos eliminado la solución $w = 0$. Por lo tanto debemos incluirla, y ya que no hemos llegado a ninguna otra solución válida, $w = 0$ es la única solución de la ecuación. Algo parecido hubiésemos obtenido si en vez de dividir entre $w$ hubiéramos restado en ambos miembros $6w$:

$$6w - 6w = 12w - 6w$$ $$0 = 6w$$

Dividiendo entre 6,

$$\frac{0}{6} = \frac{6w}{6}$$ $$0 = w$$

La quinta ecuación:

$$\frac{x-1}{4} + x = \frac{x}{6} -4$$

Nos libramos de los denominadores si multiplicamos ambos miembros por 12 (el mínimo común múltiplo de 4 y 6):

$$12\frac{x-1}{4} + 12x = 12\frac{x}{6}-48$$ $$3(x-1) + 12x = 2x - 48$$ $$3x -3 + 12x = 2x - 48$$ $$15x-3 = 2x-48$$

Restamos 2x a ambos miembros:

$$15x-3-2x = 2x-48-2x$$ $$13x -3 = -48$$

Sumamos 3 a ambos:

$$13x-3+3 = -48+3$$ $$13x = -45$$

Dividiendo entre 13 ambos miembros llegamos a la solución:

$$\frac{13x}{13} = \frac{-45}{13}$$ $$x = -\frac{45}{13}$$

Finalmente, la sexta ecuación:

$$\frac{2}{q} - \frac{4}{q} + \frac{q}{q^2} = 0$$

Multiplicamos ambos miembros por $q$:

$$\frac{2q}{q} - \frac{4q}{q} + \frac{q^2}{q^2} = 0q$$ $$2 - 4 + 1 = 0$$ $$-1 = 0$$

Luego en este caso no hay solución alguna (infinito es una solución, pero a este nivel ni siquiera la consideramos), ya que no hemos hecho nada que elimine soluciones numéricas pero llegamos a un imposible independiente del valor de $q$. La ecuación era irresoluble (y el profesor un malvado).

Ecuaciones polinómicas

Ya vimos en el capítulo anterior que hay infinitas ecuaciones posibles, con multitud de variables en ellas. Sin embargo es muy común encontrarse con ecuaciones en las que sólo desconocemos una de ellas, y a menudo es sencillo resolverlas, de modo que creo que merece la pena detenernos un capítulo en ellas para estudiar cómo resolver las más comunes de todas: las ecuaciones polinómicas. Si te estás preguntando por qué dedicamos un capítulo a esto, paciencia que luego hablamos del porqué.

Todas las ecuaciones que te pedí que resolvieras en el desafío del capítulo anterior eran ecuaciones de una sola incógnita y, además, polinómicas. Una ecuación polinómica es aquella en la que las expresiones algebraicas de ambos miembros son polinomios de una variable. Esto puede llevarte –especialmente si hace años que lo estudiaste– a la pregunta evidente de ¿qué diablos es un polinomio?

Un polinomio es una expresión algebraica de una variable (por ejemplo, z) de este tipo:

Donde $a, b, c, d, e…$ son números. Dicho de otro modo, un polinomio es una suma de números multiplicados por potencias de la variable de exponente entero (1, 2, 3…), hasta donde nos dé la gana. Aquí tienes dos ejemplos:

Esto, en cambio, no son polinomios:

El nombre es una mezcolanza de griego y latín: poli (muchos) y nomen (nombre). Creo que el origen en álgebra es a partir de binomio (dos nombres o términos), ya que en matemáticas a partir del XVII se empezó a utilizar nomen en el sentido de término en una expresión. Así, $a + 2$ es un binomio, ya que consta de dos términos, mientras que $b^2 + b - 2$ es un trinomio. Al final se acabó usando polinomio en general, para cualquier número de términos, siempre que éstos fueran potencias enteras de una misma variable.

El grado de un polinomio es el máximo exponente de la variable. En el primero de los dos polinomios válidos de antes el grado es 3 y en el segundo es 5. Aunque suene un poco tonto, $r+2$ es un polinomio de grado 1, y $54$ es un polinomio de grado 0. El grado de una ecuación polinómica es el grado del mayor de los polinomios de ambos miembros.

¿Por qué las ecuaciones polinómicas son suficientemente importantes como para que les dediquemos una entrada? Hay dos razones. En primer lugar son extraordinariamente comunes en muchas situaciones de la vida real; en segundo lugar hay, hasta cierto punto, modos muy sencillos de resolverlas. Esto significa que las recompensas de su estudio son muy grandes comparadas con el esfuerzo que requiere estudiarlas –aunque requiere esfuerzo, desde luego–.

Aquí tienes varios ejemplos de ecuaciones polinómicas:

La primera es de grado 3, la segunda de grado 2, la tercera de grado 1 y la última de grado 9.

Número de soluciones de una ecuación polinómica

Las malas noticias son que no siempre es posible resolver fácilmente las ecuaciones polinómicas: hoy veremos cómo hacerlo hasta cierto grado, y cómo atacar grados mayores. Las buenas noticias son que, al menos, sí es posible saber cuántos valores de la incógnita resuelven la ecuación como mucho.

La forma en la que suele hablarse de esto es como del número de soluciones, un nombre no demasiado afortunado porque ya vimos que solución hay una sola: el conjunto de valores que resuelve la ecuación. Así, la solución de $x^2 = 1$ lo constituyen dos valores de $x$, -1 y 1. Sin embargo muy a menudo se dice que esa ecuación tiene dos soluciones, y todos nos entendemos: quiere decir que la solución es un conjunto de dos valores.

Esto de saber el número de soluciones puede no parecer muy útil –lo que queremos saber son los valores en sí, no cuántos hay–, pero supone una gran ventaja: si sabemos que la ecuación no tiene más de tres soluciones y hemos encontrado ya tres, ¡podemos dejar de buscar, porque la hemos resuelto!

Hay más buenas noticias: es muy fácil saber cuántas soluciones diferentes hay, como máximo, para una ecuación polinómica. Basta con fijarse en el grado de la ecuación.

Dicho mal y pronto, una ecuación polinómica de grado $n$ tiene $n$ soluciones diferentes como mucho. Por ejemplo, una ecuación de tercer grado tiene como mucho tres soluciones distintas, y una de grado 9 no tiene más de nueve soluciones. Esto significa, como podrás imaginar, que cuanto mayor es el grado más difícil es resolver la ecuación. Al fin y al cabo, una de primer grado sólo requiere encontrar un valor de la incógnita que la resuelva, mientras que una de grado doce es una pesadilla de tomo y lomo.

¿Por qué?

No puedo expresar cuánto odio no poder demostrarte por qué lo que acabamos de ver es cierto. No me gusta nada dar dogmas sin demostración. El problema es que la demostración requiere cosas que no hemos visto y que están bastante por encima del nivel que quiero dar en este bloque. La cosa es, además, bastante irónica.

La razón de que se cumpla esta relación entre el grado de la ecuación y el número de soluciones es el teorema fundamental del álgebra [http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_álgebra], que tiene que ver con el número de raíces de un polinomio de coeficientes complejos.

Lo irónico del asunto es que este teorema no es tan fundamental para el álgebra moderna como cuando recibió el nombre y, además, *su demostración no puede hacerse utilizando únicamente el álgebra*. Por eso no lo demostramos aquí y por esa razón este cuadro de texto de disculpa. Si te interesa el asunto puedes visitar el enlace y leer sobre ello. Te prometo que, cuando tengamos suficiente equipaje detrás, lo demostraremos en un bloque superior (siempre que me lo recuerde alguien cuando llegue el momento, claro).

Recorramos los diferentes grados de una ecuación polinómica, por lo tanto, para que tengas herramientas para poder resolverlas una tras otra sin la menor piedad. ¿Preparado? Pues empecemos con las más simples de todas, las de primer grado.

Ecuaciones lineales

El tipo más simple de ecuación polinómica es el que resolvimos casi siempre en el capítulo anterior: la ecuación de grado 1, por ejemplo:

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones lineales, y para resolverlas no hay más que emplear las técnicas comunes que describimos entonces. Se trata del tipo de ecuación que hemos resuelto desde hace más tiempo históricamente hablando, ya que no tienen ningún misterio.

Ecuaciones cuadráticas

El segundo tipo más simple lo constituyen las ecuaciones de grado 2, también llamadas ecuaciones cuadráticas. En ellas, como es lógico, los polinomios de ambos miembros son de segundo grado, como por ejemplo en ésta:

Lo habitual –luego veremos por qué es muy útil– es convertir este tipo de ecuaciones en una igualdad entre un polinomio de segundo grado y 0. Por ejemplo, en la de arriba podemos restar $2+b^2$ a ambos miembros y obtener:

De ahí que la forma en la que se escribe la ecuación cuadrática en forma general suele ser:

Naturalmente supondremos que $a \ne 0$, ya que de otro modo la ecuación ya no sería de segundo sino de primer grado.

Las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse de un modo muy simple, ya que existe una fórmula que proporciona directamente las posibles soluciones de la ecuación –que son, como mucho, dos soluciones diferentes–. El primero en obtener esta fórmula de manera clara y concreta fue un matemático y astrónomo indio, Brahmagupta, alrededor del año 628.

Emulemos a Brahmagupta, por tanto, y demostremos que existe una expresión que nos proporciona directamente las soluciones (aunque nuestra demostración no será la misma que la suya, espero que te quede bien clara). Sé que no hace falta demostrar esta fórmula para utilizarla, pero también creo que siempre es mejor no usar la magia: es conveniente saber la razón de las cosas, aunque no sea algo que utilices constantemente.

Partimos de la ecuación general, $ax^2 + bx + c = 0$. Recuerda que podemos hacer lo que nos dé la gana a ambos miembros de la ecuación mientras que sea una ecuación equivalente –se mantenga el equilibrio entre miembros–.

Así, podemos multiplicar ambos miembros por $4a$:

Sumamos en ambos miembros $b^2 - 4ac$:

La razón de hacer esto es que, si observas el miembro de la izquierda, es un cuadrado perfecto: $(u + v)^2 = u^2 + v^2 + 2uv$. Fíjate en ese $4a^2x^2 + 4abx + b^2$ y podrás reconocer el primer término al cuadrado ($4a^2x^2$), el segundo al cuadrado ($b^2$) y el doble del producto del primero por el segundo término ($4abx$).

Dicho de otro modo, $4a^2x^2 + 4abx + b^2$ es lo mismo que $(2ax + b)^2$. Así, podemos escribir la ecuación completa como

Hacemos la raíz cuadrada en cada miembro y ya casi hemos terminado:

El signo $\pm$ se debe a que la raíz cuadrada puede ser igualmente positiva que negativa, como hemos dicho antes al hablar de posibles soluciones.

Sólo nos quedan por hacer dos cosas para despejar $x$. En primer lugar restamos $b$ en ambos miembros:

Y para terminar dividimos ambos miembros entre $2a$ para obtener $x$:

Hemos obtenido lo que se denomina fórmula cuadrática, que es probablemente la expresión que te enseñaron en el colegio –y, si tuviste más suerte que yo, incluso te demostraron para no tener que creer en la magia–. Naturalmente, insisto: siempre que te encuentres con una ecuación de segundo grado puedes simplemente utilizar la fórmula de Brahmagupta sin más.

Así, si nos encontramos con

Podemos usar la expresión para resolver la ecuación. En este caso $a = 1$, $b = -2$ y $c = 1$, de modo que

Como siempre, puedes sustituir en la ecuación original para comprobarlo. Puedes ver que en este caso hay un único valor de $k$ que resuelve la ecuación; lo bueno de la fórmula cuadrática es que no tenemos que volvernos locos intentando resolver la ecuación, sino que basta con aplicarla.

Ecuaciones de grado superior

Las cosas se vuelven más arduas cuando el grado de la ecuación es mayor que dos. Es fácil saber cuántas soluciones como máximo puede tener la ecuación, pero salvo en casos bastante fáciles es una pesadilla hallarlas, pues no siempre hay un método analítico general que obtenga las soluciones como en el caso de la ecuación cuadrática. Las buenas noticias son que las ecuaciones lineales y las cuadráticas constituyen un tanto por ciento enorme de las que puedes encontrarte en niveles básicos de Física –que es la razón de que estemos estudiando esto–. Pero ¿qué hacer cuando nos encontramos con horrores del tipo $h^7 - 3h^3 + h^2 - 4 = 6h^5$?

Si estudiaste esto en el colegio, probablemente te explicaron el método de Ruffini-Horner para encontrar soluciones a ecuaciones de grado arbitrariamente alto, y te pasabas el tiempo probando posibles soluciones hasta encontrar las buenas. Sin embargo, en este bloque yo no voy a explicarte ese método (si no sabes de lo que hablo, ni te preocupes del asunto y puedes saltarte el siguiente párrafo).

Tengo dos razones para no hacerlo . La primera es que tardaríamos bastante y no serías más eficaz ni más rápido que con el método que sí voy a explicar. La segunda es que en el colegio –al menos a mí– nunca nos demostraron el porqué ni de las soluciones que probábamos, ni del sistema en sí. Para que yo explicara las razones y demostrase todo aquí me haría falta mucho espacio y tiempo… pero ¿para qué? En su momento tenía sentido usar esos métodos, pero hoy en día no hace demasiada falta. Existen métodos numéricos que permiten obtener las soluciones muy fácilmente si sabes programar un poco, o utilizar herramientas ya programadas.

Sí voy a hablar de un caso particular, una vez más por la relación recompensa-esfuerzo. Si has comprendido cómo resolver ecuaciones cuadráticas, existe otro tipo de ecuaciones de grado superior que no supondrán ningún problema para ti: las ecuaciones de grado 4 que son reducibles, con una pequeña sustitución, a ecuaciones cuadráticas.

Se trata de ecuaciones de grado 4 en las que no existen potencias de exponente impar, por ejemplo $4g^4 -3g^2 = 7$. Aunque nominalmente la ecuación sea de grado cuatro, es posible hacer un simple cambio de variable para convertirlas en algo mucho más simple. Si definimos una nueva variable $x = g^2$, entonces podemos escribir la ecuación anterior como $4x^2 -3x = 7$, que es una simple ecuación cuadrática. Una vez resuelta y con los valores de $x$ en la mano sólo tenemos que volver a la definición $x = g^2$ y calcular los valores posibles de $g$. Un ejemplo será la manera más fácil de verlo, precisamente con la ecuación que acabo de mencionar.

Si resolvemos con la ecuación cuadrática $4x^2 - 3x - 7 = 0$ obtenemos los valores de la solución –te dejo que lo hagas para practicar–, $x = -1$ y $x = \frac{7}{4}$. A continuación podemos ir a la definición y tendremos dos ecuaciones: $-1 = g^2$ y $\frac{7}{4} = g^2$. La primera no tiene soluciones reales, ya que un número real al cuadrado no puede ser negativo, pero la segunda sí: $g =\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Como digo, es raro que en bloques que se basen en éste –es decir, Física preuniversitaria– te encuentres con una ecuación de grado siete. ¿Cuál es el método que te recomiendo, si eso sucede? Muy sencillo: el análisis numérico hecho por un programa de ordenador. Es absurdo, en el año en el que vivimos, ir probando posibles valores de la solución. Es mucho más eficaz aplicar el análisis numérico; idealmente tras entender cómo se programa, pero no es éste el momento ni el lugar. Hasta entonces mi recomendación es bien clara – Wolfram Alpha. Si introduces la ecuación de grado 7 de arriba puedes ver la solución en un momento.

Ecuaciones cúbicas

Aunque aquí no le dediquemos tiempo, al igual que Brahmagupta obtuvo la fórmula general que resuelve de manera analítica las ecuaciones cuadráticas, existe también una fórmula que proporciona las soluciones de la ecuación cúbica, es decir, la ecuación polinómica de grado 3. En un principio obtuvimos fórmulas para casos “fáciles”, como aquellos en los que no hay término al cuadrado, pero finalmente obtuvimos una general.

¿Por qué no hablamos aquí de ella? Porque, una vez más, demostrarla requiere conocimiento que aún no hemos descrito aquí, como por ejemplo el concepto de número complejo. Sin embargo, si tienes interés, puedes leer sobre ella aquí.

Es muy posible, que algún siglo de estos, tras algún bloque de programación orientada a las ciencias, hablemos sobre métodos de análisis numérico y resolvamos ecuaciones como ésa con programas hechos por nosotros mismos, pero por ahora puedes apoyarte en las muletas de Wolfram Alpha para salir de atolladeros de grado catorce. No te avergüences de ello.

Armado con las herramientas que llevamos hasta ahora, en el siguiente capítulo del bloque atacaremos otro problema algebraico muy común en Física: los sistemas de ecuaciones. Pero, antes de eso, recapitulemos.

Ideas clave

Éste ha sido un capítulo más bien práctico, pero espero que te hayan quedado bien claras las ideas fundamentales:

• Un polinomio es una suma de productos de números por potencias enteras de una variable.

• Una ecuación polinómica es aquella en la que los dos miembros son polinomios de la misma variable.

• El grado de una ecuación polinómica es el máximo exponente de la incógnita.

• Una ecuación polinómica tiene un número máximo de soluciones igual a su grado.

• Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, y es posible resolverla usando técnicas de despeje elementales.

• Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado 2, y es posible resolverla usando la ecuación cuadrática.

• Las ecuaciones de grado superior, salvo casos especiales, deben ser resueltas usando métodos numéricos.

Antes de seguir…

Hoy voy a dejarte algunas ecuaciones para resolver, ¡sorpresa! Hay un poco de todo: algunas lineales, otras cuadráticas y algunas de grado superior. Como siempre, os pido que no pongáis respuestas en comentarios, ya que podéis aguar la fiesta a los demás. En el siguiente capítulo del bloque daremos las soluciones a cada una.

Obtén las soluciones (si las hay, claro) de las siguientes ecuaciones polinómicas. Si puedes, hazlo tú mismo con papel y lápiz, pero si no, ya sabes. Si eres programador y tienes arrestos y tiempo, puedes incluso hacer algún programilla que vaya probando cosas –sin necesidad de saber métodos numéricos muy avanzados– y seguro que llegas a alguna parte.

1. $-j + 2j^2 + j^3 = 0$
2. $4u^2 - u = 2$
3. $6a^4 - 2 + a^3 +2a^2 -a^3 = 2$
4. $b^5 - 4b^4 +2b^3 + b^2 - 6b = -2$