Continuamos hoy nuestro viaje por las procelosas aguas de la mecánica cuántica en la serie Cuántica sin fórmulas. Si no has leído los anteriores artículos de esta serie es muy difícil que éste te ayude a entender nada; si es así, te recomiendo encarecidamente que empieces la serie desde el principio.

En las anteriores entradas de la serie hemos hablado acerca de lo que se conoce hoy en día como cuántica antigua, la cual había llegado en 1924 a una suerte de “callejón sin salida” tras la publicación de la tesis de Louis de Broglie, en la que postulaba la doble naturaleza corpuscular y ondulatoria de la materia. Bien, se tenían “parches” (la hipótesis de Planck, el átomo de Bohr, el efecto fotoeléctrico y la propia hipótesis de de Broglie) a las teorías clásicas, pero ¿cómo ir más allá? Para describir el Universo, ¿se utilizarían las ecuaciones de Newton o Maxwell sabiendo que no lo describen correctamente? ¿cómo podían incluirse en ellas los efectos cuánticos?

Hacía falta una formulación teórica coherente: no una teoría clásica parcheada, sino una base matemática completa que describiera el mundo de acuerdo con las teorías cuánticas. Dos verdaderos genios elaboraron sendas formulaciones matemáticas que concordaban perfectamente con los resultados experimentales obtenidos hasta entonces: Werner Heisenberg y Erwin Schrödinger. El primero en hacerlo fue Heisenberg, y una de las consecuencias inevitables de su formulación haría temblar otro de los pilares de la física clásica. Hoy hablaremos brevemente de la mecánica matricial del genial alemán y más en profundidad de esa consecuencia: el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Un aviso: esta serie es densa y difícil. A pesar de que la filosofía de El Tamiz es “antes simplista que incomprensible”, hay límites. He reescrito esta entrada tres veces tratando de hacerla tan accesible como puedo, pero sigue sin ser fácil. De hecho, hablaremos del principio de incertidumbre en tres entradas diferentes – una para la razón de su existencia, otra para el experimento mental de Heisenberg que trataba de explicarlo y algunas falsas concepciones relacionadas con el principio y, finalmente, otra para las consecuencias que tiene sobre nuestra concepción del Universo. Sin embargo, incluso partiéndolo en tres, es un artículo que requiere una concentración mayor que la mayoría. De modo que tómatelo con calma y, si te resulta infumable, deja pasar un par de días antes de leerlo de nuevo.

Hemos hablado ya antes de Werner Heisenberg, pero no puedo dejar de repetir lo mucho que me impresiona su genio. En 1924, todos los físicos involucrados en el nacimiento y el desarrollo de la teoría cuántica, incluidos los dos más prominentes (Einstein y Bohr) estaban de acuerdo en que hacía falta una formulación matemática rigurosa de la teoría: algo de lo que los efectos observados (como el efecto fotoeléctrico) pudieran ser deducidos teóricamente, en vez de ser añadidos como los “parches” que hemos mencionado antes a la teoría clásica. Podría pensarse que una empresa de ese calibre llevaría décadas: no para Heisenberg. Un año bastaría, aunque afortunadamente para él no estaba solo.

Werner Heisenberg.

Con tan sólo 23 años el joven físico empezó a trabajar en el problema. Heisenberg era bastante mediocre como físico experimental, pero su manejo de las matemáticas y su capacidad de abstracción eran extraordinarias. Con la ayuda y el consejo de Bohr y Kramers en Copenhague, Pauli en Hamburgo y Born en Göttingen, se dedicó a analizar los obstáculos teóricos y probar soluciones matemáticas que predijesen los resultados experimentales obtenidos hasta entonces. Menudo equipo de mentores, ¿eh?

Heisenberg había conocido a Niels Bohr en 1922, y las ideas del danés lo influyeron profundamente: podríamos decir que el enfoque de Heisenberg es de la “escuela de Bohr” (como veremos a lo largo de la serie, una filosofía completamente distinta a la de la “escuela de Einstein”). Bohr era de la opinión de que la física debe preocuparse de lo que puede ser observado y medido, y lo demás es perder el tiempo, y Heisenberg llevó esta idea al extremo al elaborar su teoría.

Werner Heisenberg y Niels Bohr.

Al fin y al cabo, tal y como lo veía Heisenberg, el principal obstáculo para crear una formulación de la cuántica era que hablar del electrón como una bolita minúscula que se mueve alrededor del núcleo de modo que a veces está “a la izquierda”, a veces “a la derecha” y cosas parecidas es inane y absurdo. ¿Cómo es posible aplicar las leyes mecánicas del mundo macroscópico a algo tan diferente? Y lo que es más importante, ¿para qué hacerlo, si es imposible verlo? Heisenberg rompe con la idea de aplicar leyes clásicas a un mundo que no lo es: en vez de eso, parte de cero para elaborar una teoría que no trata de predecir lo que es, sino lo que se mide. Piensa en lo tremendo de este cambio de filosofía, que para muchos físicos era “tirar la toalla” al mirar al Universo.

Heisenberg se olvida entonces del electrón como una pequeña esfera, del concepto de una órbita como la de un planeta alrededor del Sol, de la posición que pueda tener en cada momento cuando gira… se olvida de todo lo que sucede “detrás del telón”, y elabora una formulación matemática que predice lo que se denominan observables: magnitudes que pueden ser medidas por el experimentador, como la frecuencia de la radiación emitida o la energía cinética de los electrones del efecto fotoeléctrico. En sus propias palabras,

Este artículo pretende establecer una base para una mecánica cuántica teórica fundada exclusivamente en las relaciones entre magnitudes que son, en principio, observables.

El físico se dedicó a identificar los observables de los que predecir los valores que se obtendrían en experimentos, y a tratar de elaborar fórmulas nuevas (partiendo de las clásicas pero teniendo en cuenta los resultados de los experimentos que mostraban efectos cuánticos, como los valores escalonados de energía en un oscilador), y en un momento dado se dio cuenta de algo sorprendente: existía una forma relativamente sencilla (¡ojo! sólo relativamente) en la que todo encajaba muy bien, pero las matemáticas de esa solución al problema requerían propiedades muy extrañas para los observables. ¿Te suena esto? Una vez más, el cálculo sugiere una solución muy eficaz pero que resulta difícil de tragar. Justo como en el caso de Planck y su constante.

Para empezar, el estado de los observables venía descrito por series de infinitos términos, y para predecir el valor que se mediría de uno de ellos hacía falta realizar productos, término a término, de estas series infinitas. ¿Qué significaba físicamente cada uno de los términos? De acuerdo con Heisenberg, la pregunta no tenía sentido: al aplicar las matemáticas y realizar las operaciones requeridas, se obtenía un valor final que era el que tenía un significado físico. Como ves, la cuántica estaba entrando ya en una etapa en la que comprender realmente las matemáticas inherentes a la teoría era muy complicado –por no decir imposible. “¡Cállate y calcula!”

Pero había algo más extraño aún en esos observables, y ese algo es la base del confusamente llamado principio de incertidumbre: algunos observables estaban asociados “a pares”, de modo que al sumar las series infinitas no daba lo mismo multiplicar (por ejemplo) la posición de una partícula por su momento que al revés. Dicho de otro modo: en la formulación de Heisenberg, a veces a * b ≠ b * a. Estos pares de observables no conmutaban. Heisenberg no sabía aún qué significaba esto, o si significaba algo en el mundo real, pero no le era ajeno que estaba utilizando conceptos matemáticos muy abstractos. Llegado este punto publicó lo que había desarrollado hasta entonces y, si hubiera estado solo, posiblemente no hubiera llegado más allá.

Afortunadamente, no estaba solo: cuando leyó el artículo de Heisenberg (con sumas de varios términos y multiplicaciones no conmutativas), Born vio claramente que todo apuntaba a las matrices (por si no estás familiarizado con ellas, la multiplicación de matrices no es conmutativa). Junto con su ayudante, Pascual Jordan, elaboró una formulación de las ideas de Heisenberg que utilizaba matrices, publicándola un par de meses después del artículo de Heisenberg. Los tres hombres trabajaron juntos para refinar las matemáticas del asunto, y el mismo año de 1925 publicaron el artículo definitivo que establecía una base matemática solidísima que predecía bien los resultados de los experimentos: la mecánica matricial.

Max Born, hacia 1920. Crédito: American Institute of Physics.

Esta formulación matemática predecía muy bien los resultados, pero era de una complejidad y un grado de abstracción difícilmente asumibles por muchos físicos. Imagina que en 1925 –o ahora, porque lo mismo da– te dicen que la posición de una partícula viene determinada por los infinitos coeficientes de una matriz, y que medir la posición de la partícula supone realizar una operación matemática determinada sobre la matriz que obtiene un vector que posee propiedades deducidas de ella. Operando con el vector podía predecirse el valor que se mediría de la posición de la partícula y el error en la medición. Como puedes comprender, muchos científicos sentían un desasosiego enorme al leer esto. Bien, pensaban muchos de ellos, si mido la posición, la teoría predice qué mediría en ese instante y con esas condiciones, pero ¿dónde diablos está la partícula el resto del tiempo? ¿su posición es una matriz de rango infinito hasta que la miras? ¿qué significa toda esa maraña de fórmulas ininteligibles?

En las crudas palabras de Erwin Schrödinger,

Conocía la teoría [de Heisenberg], por supuesto, pero me sentía descorazonado, por no decir repelido, por los métodos de álgebra trascendente, que me parecía muy complicada, y por la imposibilidad de visualización.

El propio Einstein estaba extraordinariamente insatisfecho con la formulación de Heisenberg, Born y Jordan. Todo eso de que “lo que no se puede medir no es sujeto de la ciencia” disgustaba enormemente al insigne físico. Para Einstein había una realidad concreta e independiente del observador, la midamos o no. Eso de que la posición de una partícula, su momento o su energía fueran matrices sin el menor significado físico hasta que se realizaba una medición le parecía absurdo.

Sin embargo, las diferencias entre los dos grupos (el de Bohr y el de Einstein) se harían aún mayores cuando el propio Heisenberg extrajo por fin la conclusión que da nombre a este artículo, trabajando a partir de la propiedad de esos pares de observables que no conmutaban. Como he dicho antes, el producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa: es posible que si multiplicas dos matrices A y B, A * B = B * A, pero la mayor parte de las veces esto no pasa. Dos años después de publicar el artículo original y tratando de descubrir qué significaba el hecho de que algunos observables no conmutaran (si es que significaba algo), Heisenberg dedujo que la imprecisión en el valor conjunto de los observables predicha por la teoría dependía de si los observables conmutaban o no.

Es decir, si un observable venía descrito por la matriz A y otro por la matriz B y A * B = B * A, entonces podían medirse ambos observables con una precisión arbitrariamente alta (dependiendo, por supuesto, de la precisión del aparato de medida) sin ningún problema… pero si A * B ≠ B * A, era imposible predecir ambos valores con una precisión arbitrariamente alta. Esto sucedía, por ejemplo, con el par de observables posición-momento (es decir, dónde está la partícula y cómo de rápido se mueve).

Heisenberg publicó sus conclusiones en 1927. En sus propias palabras,

Cuanto mayor es la precisión en la determinación de la posición, menos precisión hay en la determinación del momento, y viceversa.

Como puedes ver, el término “principio” no es estrictamente cierto en este caso. “Relación de incertidumbre” es probablemente más correcto, pues se deduce de una teoría matemática (la mecánica matricial) más general. Lo curioso es que, al obtener el límite de precisión para los pares de observables conjugados operando con la mecánica matricial, el resultado obtenido por Heisenberg incluía la constante de Planck (que, como recordarás, aparecía en el efecto fotoeléctrico y en la hipótesis de de Broglie): el producto de ambas imprecisiones era, en el mejor de los casos, del orden de magnitud de la constante de Planck. Hablaremos de las implicaciones de este hecho en un par de artículos.

Si leíste y entendiste el artículo sobre la dualidad onda-corpúsculo, espero que todo esto te suene a algo. ¿Recuerdas cómo el principio de complementariedad, en términos de Bohr, decía que no es posible observar algo para verlo como onda y partícula a la vez? La relación de incertidumbre de Heisenberg refleja una vez más esta dualidad de la naturaleza, aunque en este caso referida a otras propiedades físicas de la materia, como la posición y el momento. Si diseñas un experimento que muestre una cosa, la complementaria está “oculta”. Al menos, en el caso de la relación de indeterminación, no se trata de una elección de sí/no, sino de grado: cuanto más te fijas en una cosa, más borrosa se vuelve la otra.

Sin embargo, vemos aquí una vez más asomar la cabeza a una idea que se repite mucho en cuántica. Desde los científicos griegos, la idea había sido que el Universo es comprensible para nosotros: podemos mirarlo, pensar y comprender cómo funciona. Sin embargo, en los experimentos en los que la cuántica muestra sus rarezas parece como si el propio Universo “se escondiera” de nosotros: no, no puedes saber si un electrón es una partícula o una onda; no, no puedes saber dónde y cómo de rápido se mueve; no, cuanto mejor observas esto peor observas lo otro… Esto ha llevado incluso a algunos a plantearse si el Universo está diseñado específicamente para que sus habitantes no puedan llegar a entenderlo “desde dentro”, aunque desde luego esto no es demostrable ni refutable científicamente. Como probablemente diría Bohr, “¿puedes medir eso? ¿no? pues entonces déjalo”.

Además de la posición y el momento, la relación es deducible para otros pares de observables, como la posición y el momento angulares de un objeto en rotación o la posición y la energía de una partícula en un potencial. Contrariamente a lo que piensa mucha gente, Heisenberg no dedujo la relación también para la energía y el tiempo – eso lo haría Dirac nueve años más tarde, combinando la Teoría Especial de la Relatividad con la cuántica; eso sí, muchos físicos ya pensaban que la relación de Heisenberg se cumpliría también para la energía y el tiempo cuando publicó su artículo, aunque no pudieran demostrarlo.

Una vez más, la relación de incertidumbre puede mirarse de dos maneras. La manera “cállate y calcula” es simplemente tomarla estrictamente como es: cuando mides la posición y el momento de una partícula en un momento determinado, no puedes medir ninguna de las dos con absoluta precisión y cuanto mayor es la precisión en una de ellas menor lo es en la otra. Pero es difícil no intentar ir más allá. Por ejemplo, ¿por qué? ¿por qué no es posible medir las dos con una precisión arbitraria? La deducción matemática está muy bien, pero ¿qué me impide tener mayor precisión? ¿la manera en la que mido? ¿los aparatos de medida?

Otra pregunta aún más interesante, y que se hicieron muchos físicos casi inmediatamente, como es posible que te hayas hecho tú: el electrón está en una posición y con un momento determinados pero yo no puedo medirlos, ¿o no puedo medirlos porque no los tiene determinados? Dicho de otra manera, cuando nadie lo mira, ¿dónde y cómo está el electrón? No hace falta decir que Bohr y Heisenberg se hubieran reído de esta pregunta, pero muchos otros no dormían al pensarlo. Pero exploraremos estas preguntas en los otros artículos acerca de la relación de incertidumbre.

El próximo artículo de la serie será publicado antes de lo normal, en vez de esperar su turno: no quiero dejar pasar mucho tiempo entre estos tres artículos sobre el principio de incertidumbre para que no se nos olvide el anterior al leer el siguiente. Por otro lado, creo que es una buena idea partirlo para dejar pasar unos días y asimilar las cosas, aparte de que leer el artículo completo de un golpe sería como tragarse un yunque.

En ese artículo hablaremos acerca del experimento mental diseñado por Heisenberg para tratar de explicar la razón física de que aparezca la relación de incertidumbre, además de desmontar algunas ideas falsas que se oyen a veces acerca del principio de incertidumbre. Puedes seguir leyéndolo aquí.