Me alegro de que hayáis disfrutado tanto pensando sobre el siniestro desafío de las habitaciones de la muerte: no sólo hemos recibido un montón de respuestas –casi un centenar–, sino que en muchas nos decís precisamente lo que os habéis divertido pensando sobre ello. Yo he disfrutado como un loco no sólo resolviéndolo por mi parte –de una manera mucho más burda que vuestras mejores soluciones– sino, sobre todo, leyendo las vuestras.

Casi la mitad de ellas llegan a la solución correcta, lo cual es estupendo pero, por otro lado, ha hecho muy difícil elegir finalistas y ganador. La elección será necesariamente injusta pero, si has llegado a la solución buena –sea como sea–, ¡enhorabuena! Incluso aunque tengas la solución correcta, te recomiendo que eches un vistazo a las otras soluciones y especialmente a los “extras” que habéis enviado algunos de vosotros.

Antes de nada, el meollo de la cuestión. La respuesta correcta es que la probabilidad de morir en A es de 1/6, la de morir en B es 1/3, la de morir en C es 1/6 y la de morir en D es 1/3. Pero ¿cómo llegar hasta aquí? Vuestras soluciones lo hacen básicamente de tres maneras distintas (con algún detalle diferente dentro de cada grupo, pero eso no es importante), de modo que analicemos cada tipo de solución.

El primer grupo de soluciones es el que podríamos llamar de fuerza bruta: usando algún lenguaje de programación, o una hoja de cálculo, o alguna cosa similar, básicamente se realiza el experimento un número muy grande de veces de modo que pueda verse qué sucedería con una especie de simulación.

Claro, hacerlo únicamente así no es la solución óptima –aunque es infinitamente mejor que no llegar a ninguna conclusión–, pero muchos de vosotros habéis usado este método, inteligentemente, para comprobar de manera pseudo-empírica la solución que habéis obtenido de una de las otras dos maneras. También es útil hacerlo así primero, para ver qué es lo que “debería salir”, y luego ponerse a hacerlo teóricamente con un rumbo determinado –eso es lo que hice yo, porque al principio no sabía por dónde empezar–.

De entre todas las soluciones de fuerza bruta, la mejor con mucha diferencia ha sido la de nuestro primer finalista, Sergio Cinos. Sergio ha utilizado javascript para realizar la simulación. Su solución me ha parecido fascinante por dos razones: por un lado, porque no da la solución simplemente de manera numérica, sino de forma gráfica, incluso del número de turnos que sobrevive cada desafortunado jugador.

Por otro lado, porque uno de los parámetros que se pueden modificar para ejecutar la simulación es el número de habitaciones. Como habéis dicho varios en la solución, este problema es atacable porque tiene una gran simetría, pero con cinco habitaciones, por ejemplo, hubiera sido bastante más difícil. Hablaremos de esto al final de la solución pero, armados con el programita de Sergio, podemos al menos saber qué debe salir para cada caso antes de enfrentarnos a él de manera teórica.

Sin más, os dejo disfrutar de la solución de Sergio, me lo he pasado bomba jugando con ella: https://eltamiz.com/images/2012/05/sergio.html.

Otra solución de fuerza bruta que merece mención es la de Javier Sedano (nuestro J de El Cedazo); Javier ha realizado la simulación en java, pero lo glorioso de su solución es la introducción, en la que explica la verdadera razón de la invasión de la Tierra, que no es otra que hacer trampa para resolver un problema matemático:

Lo que la historia no cuenta es que el general alienígena no tenía ninguna intención de invadir la Tierra. Fue a su jefe, mientras se estaba duchando por la mañana, a quien se le ocurrió este pequeño problema, y quien encargó a su subordinado que lo resolviera.

Nuestro general era un poco vago. No es que fuera mal matemático, claro que no. Eso es algo que los alienígenas matemáticos llevan en los genes. Es solo que él era vago.

Así que en vez de ponerse a pensar sobre el problema durante los escasos segundos que le hubiera llevado resolverlo, decidió poner a unos cuantos seres inferiores a jugar, a ver en qué habitación morían. El plan era simple: pondría a los 7 000 000 000 de humanos a jugar, mediría cuántos de ellos morían en cada habitación y con eso calcularía el porcentaje.

Con esto llegamos a la invasión de la Tierra, en la que nuestro alienígena esperaba encontrar casi siete mil millones de seres inteligentes con los que realizar el experimento. Con lo que no contaba el general es con las particularidades del ser humano:

La mayor parte de ellos simplemente dijo “A mí que me importa salvar al siguiente jugador. Paso. Que le den.” y directamente pasó de jugar. Esto falseaba el experimento, así que a quienes dijeron eso, hubo que descartarlos.

Otros, influenciados por un invento que ellos llamaban “televisión” se comportaron como si todo fuera mentira. Unos creyeron que estaban participando en algún tipo de reality show, por lo que se pusieron a insultar al alienígena y diciendo algo de que “estás nominado”. Otros dijeron noséqué de una película e intentaron agredir al alienígena. Obviamente, el alienígena tuvo que descartar a todos estos del experimento.

Otra parte sustancial de los humanos ni siquiera entendió el problema y optó por soluciones peregrinas, como correr en círculos ABCD o ADCB; ir a B o D y quedarse allí; quedarse quietos en A; o simplemente mirar al alienígena con cara de no haber entendido nada (estos, la mayoría). También estos hubo que descartarlos para no falsear el experimento. Una parte no despreciable si entendió el ejercicio, pero intentó hacer trampas, como por ejemplo quedarse quietos en A y decir que la probabilidad de morir en A era del 100%. Otra vez, hubo que descartar a estos, por tramposos, para no falsear la medida.

Solo un puñado de humanos, en torno a un millón, consiguieron hacer el experimento adecuadamente. El alienígena encontró una correlación aparentemente significativa entre esos humanos que sí lograron hacer el experimento y un panfleto pseudo-científico llamado El Tamiz (los humanos creen que es científico, pero es que son un poco retrasados, los pobres; todavía creen en el principio de incertidumbre y la contracción de la longitud… ilusos), lo que hace pensar al alienígena que quizá para las razas inferiores esa pseudo-ciencia es un paso necesario antes de llegar a la verdadera inteligencia.

El segundo tipo de soluciones es el que podríamos llamar iterativas. Son aquellas en las que se va calculando la probabilidad de muerte en cada habitación en cada turno, se van sumando esas probabilidades y se llega a una serie infinita. Dado que esa serie converge para cada habitación, se suma la serie infinita y se tiene la probabilidad de muerte en cada una de las cuatro habitaciones.

De entre ellas, me han parecido especialmente intuitivas las que dividen las probabilidades en dos tipos: puesto que empezamos en la habitación A, sólo es posible morir en las habitaciones B y D en un número de turno impar, y sólo es posible morir en A y C en un turno par. Pero mejor dejo que lo explique el segundo finalista de hoy, Argus:

Vamos a visualizar las probabilidades como si en lugar de una sola persona caminando por las habitaciones se tratara de un millón de individuos que en cada turno se dividen en dos grupos iguales y cada grupo va a una de las habitaciones contiguas.

Si empezamos con 1 millón en A, en el siguiente paso tendremos medio millón en B y medio millón en D. Con toda seguridad muere uno de estos grupos, bien en B, bien en D, y con la misma probabilidad.

Tanto si los supervivientes están en B como si están en D, en el siguiente turno una mitad va a A y otra mitad va a C. Uno de estos grupos muere, bien en A bien en D, de nuevo con la misma probabilidad.

Repitiendo este proceso vemos que por turnos, la mitad del ejército en el primer paso muere en B o D. La mitad de la mitad muere en A o C. La mitad de la mitad de la mitad muere en B o D y así sucesivamente.

Es decir, que la fracción de individuos muertos en total será:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + …$

Al final la suma es 1, es decir, mueren todos como era de esperar.

Pero como empezamos en la habitación A, los individuos que mueren en B o D corresponden a los turnos impares mientras que los que mueren en A o C corresponden a los turnos pares. O sea:

Probabilidad de morir en B o D = $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + …$. Probabilidad de morir en A o C = $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + …$

Resolviendo los sumatorios llegamos a:

P(morir en B o D) = 2/3

P(morir en A o C) = 1/3

Al movernos al azar, las probabilidades de B o de D son iguales entre sí y las probabilidades de A o de C también. Por tanto, la solución habitación por habitación se obtiene dividiendo estos resultados por 2:

P(A) = 1/6, P(B) = 2/6, P(C) = 1/6, P(D) = 2/6

De entre estas soluciones, además, ha salido una demostración adicional interesante, obtenida por Karlos y Alejandro Godoy: el tiempo medio de supervivencia en el juego. Dejo que lo explique Karlos:

Hay otra cosa que podemos calcular del problema (y es que si no se me hace muy soso). ¿Cuánto tiempo sobreviviremos de media?

Veamos, cada 5 segundos tenemos un 50% de probabilidades de morir. Es decir, tenemos un 50% de probabilidades de durar 5 segundos; un 25% de durar 10 segundos; un 12.5% de durar 15 segundos, y así sucesivamente.

Por tanto, el tiempo medio que tardaremos en morir vendrá dado por $\sum \frac{5n}{2^n}$, sumando n desde 1 hasta infinito. Esto podemos calcularlo como $\sum \frac{5n}{2^n}= 5 \sum \frac{n}{2^n}$ (sacando factor común), y la suma de la derecha da (de nuevo… calculadora o álgebra) exactamente 2.

Por lo tanto, de media sobreviviremos 10 segundos. No es mucho, pero siguen siendo muchos más de los que nos permitiría vivir nuestro alienígena si estuviera hambriento. Imagino que con el útlimo quedó satisfecho.

Finalmente, las que me parecen las soluciones más elegantes de todas, ya que no requieren de sumas infinitas ni programas que ejecuten la simulación, son las soluciones recursivas. Ojalá se me hubiera ocurrido una de éstas, porque me encantan y, al leerlas, se me ha encendido la bombilla, pero desgraciadamente mi mente no da para tanto. Enhorabuena a los “recursivos”, porque habéis convertido el problema en un juego de niños.

Básicamente, las soluciones recursivas se basan en darse cuenta de un hecho crucial: por un lado –como sucedía en las iterativas– que las habitaciones A y C, lo mismo que B y D, son equivalentes. Por otro, y aquí es donde está el detalle elegantísimo, que cada dos turnos el problema se convierte en el problema original de nuevo. Maravilloso.

Ha sido muy difícil elegir una solución entre las recursivas, porque son todas buenísimas; aunque no sea la ganadora, no puedo dejar de mencionar la de Mmonchi, porque fue la primera solución recursiva que recibí y, al leerla, se me pusieron los ojos como platos. El caso es que os dejo aquí la del ganador de hoy, Alberto Pérez, su “solución a las habitaciones de la muerte para ajedrecistas”:

El problema se simplifica mucho, si uno se da cuenta de las simetrías que presenta.

Es fácil darse cuenta que existe la misma probabilidad de morir en B que en D, Reflexionando un poco mas, la probabilidad de morir en A es la misma que la de morir en C.

Tenemos dos parejas, B-D y A-C

Para visualizarlo mejor, podemos pintar B-D de Blanco y A-C de Negro, eliminar los pasillo y quedarnos con un mini tablero de ajedrez de 2x2.

En este tablero nos movemos como torres, en vertical o en horizontal… pero no en diagonal. Por lo tanto, en cada movimiento se ira alternando de color, de la casilla en la que acabamos y en la que tenemos un 50% de probabilidades de encontrar la muerte: Blanco-Negro-Blanco-Negro-Blanco-….. hasta el trágico desenlace.

Esta secuencia podría ser infinita, sin tuviéramos tantísima suerte de ir salvándonos en todos los movimientos. Esta serie infinita, la podemos dividir en infinitos intervalos de 2 movimientos: Blanco-Negro.

En cada una de estos intervalos, el Blanco juega primero. Por lo que, la probabilidad de morir en una casilla blanca es siempre el doble que la de morir en una casilla negra.

Como tarde o temprano moriremos… La probabilidad de morir en una casilla blanca es de 2/3 y la de morir en negra es de 1/3. Pero para cada color existen dos casillas equi-probables. Por lo que hay que dividir a la mitad, quedando.

A= 1/6, B = 1/3, C = 1/6, D = 1/3

Una vez resuelto el desafío, os planteo una continuación: jugando con la solución de Sergio en javascript se puede ver, por ejemplo, que si hubiese cinco habitaciones las probabilidades de muerte se dividen en tres grupos: 15,8% en la habitación original, 31,6% en las dos adyacentes y 10,5% en las dos opuestas. ¿Alquien es capaz e obtener esa solución de manera teórica? ¿Alguien puede obtener conclusiones interesantes sobre la generalización a un número arbitrario de habitaciones? Si es así y me lo enviáis, volvemos a hablar del asunto de nuevo.

En cualquier caso, me alegro de que hayáis disfrutado pensando en el problema. Y lo más importante, como siempre, es que de ser invadida la Tierra por los Alienígenas matemáticos y vernos involucrados en un experimento como éste, estamos preparados.

¡Hasta el próximo desafío!